Question

13．已知角φ（|φ|＜$\frac{π}{2}$）的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（1，-1），點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是函數(shù)f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0）圖象上任意兩點(diǎn)，若|f（x₁）-f（x₂）|=4時(shí)，|x₁-x₂|的最小值為$\frac{π}{3}$．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）將f（x）的圖象向左平移$\frac{π}{3}$個(gè)單位，再將f（x）的圖象的每個(gè)點(diǎn)保持縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的$\frac{1}{3}$，得到y(tǒng)=g（x）的圖象，求y=g（x）的遞增區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）由任意角的三角函數(shù)的定義求得tanφ=-1，可求φ=-$\frac{π}{4}$．再根據(jù)函數(shù)的圖象的相鄰的2條對(duì)稱軸間的距離等于$\frac{π}{3}$，可求函數(shù)的周期為$\frac{2π}{3}$，由此求得ω 的值，從而求得函數(shù)的解析式．
（2）由正弦函數(shù)的圖象變換規(guī)律可求g（x）的解析式，利用2kπ$-\frac{π}{2}$≤9x+$\frac{3π}{4}$≤2kπ$+\frac{π}{2}$，k∈Z可解得g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

解答 解：（1）∵角φ的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（1，-1），
∴角φ的終邊在第四象限，且tanφ=-1，|φ|＜$\frac{π}{2}$，故：φ=-$\frac{π}{4}$．
點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是函數(shù)f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0）圖象上的任意兩點(diǎn)，
若|f（x₁）-f（x₂）|=4時(shí)，|x₁-x₂|的最小值為$\frac{π}{3}$，
則函數(shù)的圖象的相鄰的2條對(duì)稱軸間的距離等于$\frac{π}{3}$，
故函數(shù)的周期為$\frac{2π}{3}$，故$\frac{2π}{ω}$=$\frac{2π}{3}$，解得ω=3．
故函數(shù)的解析式為 f（x）=2sin（3x-$\frac{π}{4}$）．
（2）函數(shù)y=f（x）的圖象向左平移$\frac{π}{3}$個(gè)單位得y=2sin[3（x+$\frac{π}{3}$）-$\frac{π}{4}$）=2sin（3x+$\frac{3π}{4}$）的圖象；
再將所得圖象個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的$\frac{1}{3}$倍，得y=g（x）=2sin（9x+$\frac{3π}{4}$）的圖象．
由2kπ$-\frac{π}{2}$≤9x+$\frac{3π}{4}$≤2kπ$+\frac{π}{2}$，k∈Z可解得g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為：[$\frac{2kπ}{9}$-$\frac{5π}{36}$，$\frac{2kπ}{9}$-$\frac{π}{36}$]，k∈Z．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查任意角的三角函數(shù)的定義，由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，考查了正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于中檔題．