Question

8．已知a＞b＞0，求證：$\frac{a-b}{a+b}$＜$\frac{{a}^{2}-^{2}}{{a}^{2}+^{2}}$＜$\frac{2（a-b）}{a+b}$．

Answer 1

分析 運(yùn)用作差法證明，注意變形：因式分解，由平方數(shù)非負(fù)，即可得證．

解答 證明：由a＞b＞0，$\frac{a-b}{a+b}$-$\frac{{a}^{2}-^{2}}{{a}^{2}+^{2}}$=（a-b）（$\frac{1}{a+b}$-$\frac{a+b}{{a}^{2}+^{2}}$）
=（a-b）•$\frac{{a}^{2}+^{2}-（{a}^{2}+2ab+^{2}）}{（a+b）（{a}^{2}+^{2}）}$=-$\frac{2ab（a-b）}{（a+b）（{a}^{2}+^{2}）}$＜0，
即有$\frac{a-b}{a+b}$＜$\frac{{a}^{2}-^{2}}{{a}^{2}+^{2}}$；
又$\frac{{a}^{2}-^{2}}{{a}^{2}+^{2}}$-$\frac{2（a-b）}{a+b}$=（a-b）（$\frac{a+b}{{a}^{2}+^{2}}$-$\frac{2}{a+b}$）
=（a-b）•$\frac{{a}^{2}+2ab+^{2}-2（{a}^{2}+^{2}）}{（a+b）（{a}^{2}+^{2}）}$=-$\frac{（a-b）^{3}}{（a+b）（{a}^{2}+^{2}）}$＜0，
即有$\frac{{a}^{2}-^{2}}{{a}^{2}+^{2}}$＜$\frac{2（a-b）}{a+b}$．
則有$\frac{a-b}{a+b}$＜$\frac{{a}^{2}-^{2}}{{a}^{2}+^{2}}$＜$\frac{2（a-b）}{a+b}$成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式的證明，注意運(yùn)用作差法，考查推理能力，屬于中檔題．