Question

9．如圖，△ABC為等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=2，BD=1，一束光線從點(diǎn)D射入，先后經(jīng)過(guò)斜邊BC與直角邊AC反射后，恰好從點(diǎn)D射出，則該光線在三角形內(nèi)部所走的路程是$\sqrt{10}$．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，建立直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)與直線方程，利用光的反射原理和對(duì)稱性，求出點(diǎn)E、F的坐標(biāo)，再計(jì)算|DE|、|EF|和|DF|的值，求和即可．

解答 解：建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，
可得B（2，0），C（0，2），D（1，0）；
∴BC的方程為x+y-2=0，
設(shè)M，N分別是點(diǎn)D關(guān)于直線BC和y軸的對(duì)稱點(diǎn)，
則M（2，1），N（-1，0），
由光的反射原理可知，M，E，F(xiàn)，N四點(diǎn)共線，
又直線MN的方程為y=$\frac{1}{3}$x+$\frac{1}{3}$，
且點(diǎn)E（$\frac{5}{4}$，$\frac{3}{4}$），F(xiàn)（0，$\frac{1}{3}$），
∴|DE|=$\frac{\sqrt{10}}{4}$，|EF|=$\frac{5\sqrt{10}}{12}$，|DF|=$\frac{\sqrt{10}}{3}$；
∴|DE|+|EF|+|DF|=$\sqrt{10}$．
故答案為：$\sqrt{10}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角形的性質(zhì)和軸對(duì)稱圖形的靈活應(yīng)用問(wèn)題，是中檔題．