精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情

【題目】在如圖（1）所示的四邊形中，，，，.將沿折起，使二面角為直二面角（如圖（2）），為的中點.

（1）求證：平面；

（2）求二面角的余弦值.

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

(1)由題意可得平面，故 . 以為坐標原點，分別以，，為軸、軸、軸建立如圖所示空間直角坐標系，明確平面BOP的法向量與AD的方向向量，利用二者共線，即可證得；

（2）求出平面的法向量，利用法向量的夾角余弦即可得到二面角的余弦值.

（1）證明：由題，知，.

又∵二面角為直二面角，∴平面.

又∵平面，∴.

以為坐標原點，分別以，，為軸、軸、軸建立如圖所示空間直角坐標系.

∵，，，

∴由平面幾何知識，可得，，，，.

∵為的中點，∴.

設平面的法向量為.

∴即

令，則.∴.

又∵，∴.

∴平面.

（2）解：設為中點，連接，如圖.

∵平面，平面，

∴平面平面，交線為.

又∵為等邊三角形，∴.

又∵平面.∴平面.∴是平面的法向量.

∵，

∴.

∵，

∴二面角的余弦值為.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系中，曲線過點，其參數方程為（為參數，），以為極點，軸非負半軸為極軸，建立極坐標系，曲線的極坐標方程為．

（1）求曲線的普通方程和曲線的直角坐標方程；

（2）求已知曲線和曲線交于兩點，且，求實數的值．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】若質地均勻的六面體玩具各面分別標有數字1,2,3,4,5,6．拋擲該玩具后，任何一個數字所在的面朝上的概率均相等．拋擲該玩具一次，記事件A=“向上的面標記的數字是完全平方數（即能寫出整數的平方形式的數，如9=32,9是完全平方數）”

（1）甲、乙二人利用該玩具進行游戲，并規(guī)定：①甲拋擲一次，若事件A發(fā)生，則向上一面的點數的6倍為甲的得分；若事件A不發(fā)生，則甲得0分；②乙拋擲一次，將向上的一面對應的數字作為乙的得分�，F甲、乙二人各拋擲該玩具一次，分別求二人得分的期望；

（2）拋擲該玩具一次，記事件B=“向上一面的點數不超過”，若事件A與B相互獨立，試求出所有的整數

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】某良種培育基地正在培育一種小麥新品種A，將其與原有的一個優(yōu)良品種B進行對照試驗，兩種小麥各種植了24畝，所得畝產數據（單位：千克）如下：

品種A:357，359，367，368，375，388，392，399，400，405，412，414，415，421，423，423，427，430，430，434，443，445，451，454

品種B：363，371，374，383，385，386，391，392，394，395，397，397，400，401，401，403，406，407，410，412，415，416，422，430

（1）畫出莖葉圖.

（2）用莖葉圖處理現有的數據，有什么優(yōu)點？

（3）通過觀察莖葉圖，對品種A與B的畝產量及其穩(wěn)定性進行比較，寫出統計結論。

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，在矩形中，，，是的中點，以為折痕將向上折起，變?yōu)?/span>，且平面平面.

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）求點到平面的距離.

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】函數的定義域為,且對任意,有,且當時.

（1）證明:是奇函數;

（2）證明:在上是減函數;

（3）求在區(qū)間上的最大值和最小值.

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】設函數,

（1）若不等式的解集為，求的值；

（2）若，求的最小值．

（3）若 求不等式的解集.

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，在梯形中，，，四邊形

為矩形，平面平面，.

（I）求證：平面；

（II）點在線段上運動，設平面與平面所成二面角的平面角為，

試求的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，四棱錐中，是邊長等于2的等邊三角形，四邊形是菱形，，，是棱上的點，.，分別是，的中點.

（1）求證：平面；

（2）求直線與平面所成角的正弦值.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案