Question

2．已知O為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足條件$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$+2$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{0}$，2|$\overrightarrow{OB}$|²=2|$\overrightarrow{OC}$|²=5|$\overrightarrow{OA}$|²，則△ABC是等腰且銳角三角形．

Answer 1

分析 取BC的中點(diǎn)D，連接OD，運(yùn)用中點(diǎn)向量表示可得O為AD的中點(diǎn)，即有AD⊥BC，則|AB|=|AC|；設(shè)|OB|=|OC|=t，|OA|=m，運(yùn)用勾股定理和余弦定理，可得∠BAC為銳角．即可判斷三角形ABC的形狀．

解答 解：取BC的中點(diǎn)D，連接OD，
$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$+2$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{0}$，可得2$\overrightarrow{OD}$+2$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{0}$，
即為$\overrightarrow{DO}$=$\overrightarrow{OA}$，O為AD的中點(diǎn)，
由2|$\overrightarrow{OB}$|²=2|$\overrightarrow{OC}$|²=5|$\overrightarrow{OA}$|²，
可得|$\overrightarrow{OB}$|=|$\overrightarrow{OC}$|，OD⊥BC，
即有AD⊥BC，則|AB|=|AC|，
可得△ABC為等腰三角形；
設(shè)|OB|=|OC|=t，|OA|=m，
則|AD|=2m，|BD|=$\sqrt{{t}^{2}-{m}^{2}}$，
|BC|=2$\sqrt{{t}^{2}-{m}^{2}}$，
|AB|=|AC|=$\sqrt{4{m}^{2}+{t}^{2}-{m}^{2}}$=$\sqrt{{t}^{2}+3{m}^{2}}$，
由|AB|²+|AC|²-|BC|²=2t²+6m²-4t²+4m²=10m²-2t²，
2|$\overrightarrow{OB}$|²=2|$\overrightarrow{OC}$|²=5|$\overrightarrow{OA}$|²，即為2t²=5m²，
可得10m²-2t²=5m²＞0，
則cos∠BAC＞0，
即有∠BAC為銳角．
則△ABC為銳角三角形．
故答案為：等腰且銳角三角形．

點(diǎn)評 本題考查三角形的判斷，注意運(yùn)用向量的三角形法則和向量共線定理，考查勾股定理及余弦定理的運(yùn)用，屬于中檔題．