4.在數(shù)列{an}中,a1=2,an+1=an+$\frac{1}{n(n+1)}$,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

分析 把已知的數(shù)列遞推式變形,然后利用累加法求n≥2時(shí)的通項(xiàng)公式,驗(yàn)證首項(xiàng)后得答案.

解答 解:由an+1=an+$\frac{1}{n(n+1)}$,得${a}_{n+1}-{a}_{n}=\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$,
∴${a}_{2}-{a}_{1}=1-\frac{1}{2}$,
${a}_{3}-{a}_{2}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$,
${a}_{4}-{a}_{3}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$,

${a}_{n}-{a}_{n-1}=\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$(n≥2),
累加得:${a}_{n}={a}_{1}+1-\frac{1}{n}$,
∵a1=2,
∴${a}_{n}=2+\frac{n-1}{n}$(n≥2).
∴${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{2,n=1}\\{2+\frac{n-1}{n},n≥2}\end{array}\right.$.

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列遞推式,考查了累加法求數(shù)列的通項(xiàng)公式,是中檔題.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

14.如圖,在△ABC中,已知M、N分別是AB、AC的中點(diǎn),用向量方法證明:MN$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$BC.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

15.已知數(shù)列{an}中,a1=1,anan+1=2n(n∈N*
(1)求證數(shù)列{an}不是等比數(shù)列,并求該數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

12.已知橢圓C:$\frac{{x}^{2}}{{m}^{2}}$+y2=1,(m>0),直線l不過原點(diǎn)且不行于坐標(biāo)軸,與橢圓C有兩個(gè)交點(diǎn)P,Q,線段的中點(diǎn)為M,若直線l的斜率與OM的斜率的乘積為-$\frac{1}{2}$
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)若直線l過橢圓的右焦點(diǎn),橢圓C的上頂點(diǎn)為A,設(shè)直線AP,AQ分別交直線x-y-2=0于點(diǎn)S,T,求當(dāng)|ST|最小時(shí)直線的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

19.已知曲線$\frac{|x|}{2}$-$\frac{|y|}{2}$=1與直線y=2x+m有兩個(gè)交點(diǎn),則m的取值范圍是( 。
A.(-∞,-4)∪(4,+∞)B.(-4,4)C.(-∞,-3)∪(3,+∞)D.(-3,3)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

9.給出下列關(guān)于橢圓的真命題,試類比推理給出雙曲線中類似的命題,并畫出命題中的圖.
(1)橢圓中以焦半徑為直徑的圓與長軸為直徑的圓相切(此圓與橢圓內(nèi)切);
(2)橢圓互相垂直的焦點(diǎn)弦倒數(shù)之和為常數(shù)$\frac{1}{|AB|}$+$\frac{1}{|CD|}$=$\frac{2-{e}^{2}}{2ep}$;
(3)設(shè)橢圓焦點(diǎn)弦AB的中垂線交長軸于點(diǎn)D,則|DF|與|AB|之比為離心率的一半(F為焦點(diǎn)).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

16.山腳平地上有一條筆直的公路,在公路上A,B,C三點(diǎn)依次測得山頂P的仰角為30°,45°,60°,已知AB=BC=1km,求山高PH.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

13.已知F1,F(xiàn)2分別是橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn),若點(diǎn)P在橢圓上,且$\overrightarrow{P{F}_{1}}$ $•\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0,則橢圓離心率的取值范圍是$[\frac{\sqrt{2}}{2},1)$.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

10.設(shè)函數(shù)f(x)=$\left\{\begin{array}{l}{cosπx,(x>0)}\\{f(x+1)-1,(x<0)}\end{array}\right.$,則$f(-\frac{4}{3})$的值為(  )
A.-$\frac{5}{2}$B.-$\frac{3}{2}$C.-$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$-2D.$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$-2

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同步練習(xí)冊答案