Question

6．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，∠BAD=60°，且Q為AD的中點(diǎn)．PA=PD=AD=2．
（Ⅰ）求證：平面PQB⊥平面PAD；
（Ⅱ）點(diǎn)M在線段PC上，PM=$\frac{1}{3}$PC，若平面PAD⊥平面ABCD，求三棱錐M-PQB的體積．

Answer 1

分析 （1））由PA=PD，得到PQ⊥AD，又底面ABCD為菱形，∠BAD=60°，得BQ⊥AD，利用線面垂直的判定定理得到AD⊥平面PQB利用面面垂直的判定定理得到平面PQB⊥平面PAD；
（2）由平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PQ⊥AD，得PQ⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，得PQ⊥BC，得BC⊥平面PQB，即得到高，利用錐體體積公式求出．

解答 （I）證明：∵PA=PD，Q為AD的中點(diǎn)，∴PQ⊥AD，
又∵底面ABCD為菱形，∠BAD=60°，∴BQ⊥AD，
又PQ∩BQ=Q，∴AD⊥平面PQB，
又∵AD?平面PAD，∴平面PQB⊥平面PAD；
（Ⅱ）解：∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PQ⊥AD∴PQ⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，
∴PQ⊥BC，
又BC⊥BQ，QB∩QP=Q，∴BC⊥平面PQB，
∵PM=$\frac{1}{3}$PC，∴點(diǎn)M到平面PQB的距離d=$\frac{2}{3}$，
∴三棱錐M-PQB的體積V=$\frac{1}{3}×\frac{3}{2}×\frac{2}{3}$=$\frac{1}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題給出特殊四棱錐，求證面面垂直并求錐體體積，著重考查了平面與平面垂直的判定、平面與平面垂直的性質(zhì)和體積公式等知識(shí)，屬于中檔題．