Question

19．N為圓x²+y²=1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)M（x₀，y₀）滿足|y₀|≥1且∠OMN=30°（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則動(dòng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的區(qū)域面積為（　�。�

• A． $\frac{8π}{3}$-2$\sqrt{3}$
• B． $\frac{4π}{3}$-$\sqrt{3}$
• C． $\frac{2π}{3}$+$\sqrt{3}$
• D． $\frac{4π}{3}$+$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 由題意，過(guò)M作⊙O切線交⊙O于T，可得∠OMT≥30°．由此可得|OM|≤2．得到動(dòng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的區(qū)域滿足${{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}≤4$（|y₀|≥1）．畫出圖形，利用扇形面積減去三角形面積求得動(dòng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的區(qū)域面積．

解答 解：如圖，
過(guò)M作⊙O切線交⊙O于T，
根據(jù)圓的切線性質(zhì)，有∠OMT≥∠OMN=30°．
反過(guò)來(lái)，如果∠OMT≥30°，
則⊙O上存在一點(diǎn)N使得∠OMN=30°．
∴若圓C上存在點(diǎn)N，使∠OMN=30°，則∠OMT≥30°．
∵|OT|=1，∴|OM|≤2．
即${{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}≤4$（|y₀|≥1）．
把y₀=1代入${{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}=4$，求得A（$\sqrt{3}，1$），B（$-\sqrt{3}，1$），
∴$∠AOB=\frac{2π}{3}$，
∴動(dòng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的區(qū)域面積為2×（$\frac{1}{2}×\frac{2π}{3}×4$$-\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×1$）=$\frac{8π}{3}-2\sqrt{3}$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查軌跡方程，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法和數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，訓(xùn)練了弓形面積的求法，是中檔題．