Question

2．已知變量x，y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}{x-4y+3≤0}\\{3x+5y-25≤0}\\{x≥1}\end{array}\right.$；
（1）設(shè)z=4x-3y，求z的最大值；
（2）設(shè)z=$\frac{y}{x}$，求z的最小值；
（3）設(shè)z=x²+y²，求z的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）平移直線y=$\frac{4}{3}$x$-\frac{z}{3}$，利用直線截距和z的關(guān)系進(jìn)行求解．
（2）z=$\frac{y}{x}$的幾何意義是區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)的斜率，利用斜率關(guān)系進(jìn)行求解．
（3）z=x²+y²的幾何意義是區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的平方，利用距離進(jìn)行求解．

解答 解：（1）由z=4x-3y得y=$\frac{4}{3}$x$-\frac{z}{3}$，
作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖（陰影部分ABC）：
平移直線y=$\frac{4}{3}$x$-\frac{z}{3}$，由圖象可知當(dāng)直線y=$\frac{4}{3}$x$-\frac{z}{3}$，過點(diǎn)A時(shí)，直線y=$\frac{4}{3}$x$-\frac{z}{3}$截距最小，此時(shí)z最大，
由$\left\{\begin{array}{l}{x-4y+3=0}\\{3x+5y-25=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=5}\\{y=2}\end{array}\right.$，即A（5，2），
代入目標(biāo)函數(shù)z=4x-3y，
得z=4×5-3×2=20-6=14．
∴目標(biāo)函數(shù)z=4x-3y的最大值是14．
（2）z=$\frac{y}{x}$的幾何意義是區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)的斜率，由圖象知OA的斜率最小，
此時(shí)z=$\frac{2}{5}$．
（3）z=x²+y²的幾何意義是區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的平方，
由圖象知OA的距離最大，此時(shí)最大值為z=z=5²+2²=25+4=29，
OC的距離最小，由$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{x-4y+3=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=1}\end{array}\right.$，即C（1，1），
此時(shí)最小值z=1²+1²=2，
故2≤z≤29．

點(diǎn)評 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，涉及直線的截距，直線的斜率以及兩點(diǎn)間的距離，利用數(shù)形結(jié)合以及目標(biāo)函數(shù)的幾何意義是解決本題的關(guān)鍵．