Question

2．高考數(shù)學(xué)試題中共有12道選擇題每道選擇題都有4個(gè)選項(xiàng)，其中有且僅有一個(gè)是正確的．評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定：“每題只選1項(xiàng)，答對(duì)得5分，不答或答錯(cuò)得0分”，某考生每道題都給出了一個(gè)答案，已確定有8道題的答案是正確的，而其余題中，有兩道題都可判斷出兩個(gè)選項(xiàng)是錯(cuò)誤的，有一道題可以判斷一個(gè)選項(xiàng)是錯(cuò)誤的，還有一道題因不理解題意只能亂猜，試求出該考生：
（Ⅰ）選擇題沒得60分的概率；
（Ⅱ）選擇題所得分?jǐn)?shù)ξ的數(shù)學(xué)期望．（ 保留三位有效數(shù)字）

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用對(duì)立事件：得分為60分，12道題必須全做對(duì)，結(jié)合題意得出其余的四道題中，有兩道題答對(duì)的概率為$\frac{1}{2}$，有一道題答對(duì)的概率為$\frac{1}{3}$，還有一道答對(duì)的概率為$\frac{1}{4}$，根據(jù)獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生求解即可．
（2）確定隨機(jī)變量得出該考生得分的范圍為{40，45，50，55，60}．根據(jù)事件發(fā)生的情況分類得出相應(yīng)的概率，即可得出分布列，數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（Ⅰ）得分為60分，12道題必須全做對(duì)．
在其余的四道題中，有兩道題答對(duì)的概率為$\frac{1}{2}$，有一道題答對(duì)的概率為$\frac{1}{3}$，還有一道答對(duì)的概率為$\frac{1}{4}$，
所以得分為60分的概率為：$\frac{1}{2}•\frac{1}{2}•\frac{1}{3}•\frac{1}{4}=\frac{1}{48}$．
所以沒得60分的概率；$P=1-\frac{1}{48}=\frac{47}{48}$
（2）依題意，該考生得分的范圍為{40，45，50，55，60}．
得分為40分，表示只做對(duì)了8道題，其余各題都做錯(cuò)，所以概率為：${P_1}=\frac{1}{2}•\frac{1}{2}•\frac{2}{3}•\frac{3}{4}=\frac{1}{8}$；
同樣可以求得得分為45分的概率為：${P_2}=C_2^1•\frac{1}{2}•\frac{1}{2}•\frac{2}{3}•\frac{3}{4}+\frac{1}{2}•\frac{1}{2}•\frac{1}{3}•\frac{3}{4}+\frac{1}{2}•\frac{1}{2}•\frac{2}{3}•\frac{1}{4}=\frac{17}{48}$；
得分為50分的概率為：${P_3}=\frac{1}{2}•\frac{1}{2}•\frac{2}{3}•\frac{3}{4}+{\cal C}_2^1\frac{1}{2}•\frac{1}{2}•\frac{1}{3}•\frac{3}{4}+{\cal C}_2^1\frac{1}{2}•\frac{1}{2}•\frac{2}{3}•\frac{1}{4}+\frac{1}{2}•\frac{1}{2}•\frac{1}{3}•\frac{1}{4}=\frac{17}{48}$；
得分為55分的概率為：${P_4}=\frac{7}{48}$；
得分為60分的概率為：${P_5}=\frac{1}{48}$．
所以ξ的分布列為：

ξ	40	45	50	55	60
P	$\frac{6}{48}$	$\frac{17}{48}$	$\frac{17}{48}$	$\frac{7}{48}$	$\frac{1}{48}$

∴$Eξ=40×\frac{6}{48}+45×\frac{17}{48}+50×\frac{17}{48}+55×\frac{7}{48}+60×\frac{1}{48}=\frac{575}{12}．≈47.9$（分）

點(diǎn)評(píng) 本題考察了概率分布在實(shí)際問題中的應(yīng)用，屬于中檔題，關(guān)鍵把分?jǐn)?shù)的情況轉(zhuǎn)化為題目正確的情況求解．