Question

14．已知過點M （2，1）的直線l和橢圓x²+4y²=36相交于點A、B，且線段AB恰好以M為中點，求直線l的方程和線段AB的長．

Answer 1

分析 通過設l的方程為，并與橢圓聯(lián)立，利用中點坐標公式、韋達定理、兩點間距離公式，計算即得結論．

解答 解：方法1：顯然直線l不垂直于x軸，設l的斜率為k．
則l的方程為y=k（x-2）+1，
將它和橢圓方程聯(lián)立，消去y得到：
（1+4k²）x²+（8k-16k²）x+16k²-16k-32=0，①
設點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=$\frac{{16{k^2}-8k}}{{1+4{k^2}}}$．
∵M（2，1）是AB的中點，∴x₁+x₂=4，故$\frac{{16{k^2}-8k}}{{1+4{k^2}}}$=4，②
解得：k=$-\frac{1}{2}$，∴直線l的方程為：x+2y-4=0，
由方程組$\left\{\begin{array}{l}x+2y-8=0\\{x^2}+4{y^2}=36\end{array}\right.$消去y，解得：$x=2±\sqrt{14}$，
∴直線和橢圓的交點坐標為：A（ 2-$\sqrt{14}$，1+$\frac{{\sqrt{14}}}{2}$）、B（2+$\sqrt{14}$，1-$\frac{{\sqrt{14}}}{2}$），
故|AB|=$\sqrt{70}$；
方法2：將點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）代入橢圓方程得到：
x₁²+4y₁²=36，x₂²+4y₂²=36，
兩式相減，得：（x₁+x₂）+4（y₁+y₂）$\frac{{{y_1}-{y_2}}}{{{x_1}-{x_2}}}$=0，③
因M（2，1）是AB的中點，即x₁+x₂=4，y₁+y₂=2，且k=$\frac{{{y_1}-{y_2}}}{{{x_1}-{x_2}}}$代入③式，解得k=$-\frac{1}{2}$，
∴直線l的方程為：x+2y-4=0，
由①知，x₁+x₂=4，x₁x₂=-10，
∴|AB|=$\sqrt{（1+{k^2}）（{{（x_1^{\;}+{x_2}）}^2}-4{x_1}{x_2}）}=\sqrt{70}$．

點評 本題考查橢圓的簡單性質，涉及到中點坐標公式、韋達定理、兩點間距離公式等基礎知識，注意解題方法的積累，屬于中檔題．