Question

2．已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，短軸長(zhǎng)為2，離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)P是橢圓C長(zhǎng)軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作斜率為$\frac{1}{2}$的直線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，求證：|PA|²+|PB|²為定值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），運(yùn)用離心率公式和a，b，c的關(guān)系，解方程即可得到a=2，b=1，即可得到橢圓方程；
（Ⅱ）設(shè)P（m，0）（-2≤m≤2），設(shè)直線l的方程是y=$\frac{1}{2}$（x-m）與橢圓的方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系，再利用兩點(diǎn)間的距離公式即可證明．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），
由短軸長(zhǎng)為2，離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
則b=1，$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，a²-b²=c²，
解得a=2，c=$\sqrt{3}$，
即有橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1；
（Ⅱ）證明：設(shè)P（m，0）（-2≤m≤2），
∴直線l的方程是y=$\frac{1}{2}$（x-m），
聯(lián)立橢圓x²+4y²=4，
⇒2x²-2mx+m²-4=0（*）
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁、x₂是方程（*）的兩個(gè)根，
∴x₁+x₂=m，x₁x₂=$\frac{{m}^{2}-4}{2}$，
∴|PA|²+|PB|²=（x₁-m）²+y₁²+（x₂-m）²+y₂²
=（x₁-m）²+$\frac{1}{4}$（x₁-m）²+（x₂-m）²+$\frac{1}{4}$（x₂-m）²=$\frac{5}{4}$[（x₁-m）²+（x₂-m）²]
=$\frac{5}{4}$[x₁²+x₂²-2m（x₁+x₂）+2m²]=$\frac{5}{4}$[（x₁+x₂）2-2m（x₁+x₂）-2x₁x₂+2m²]
=$\frac{5}{4}$[m²-2m²-m²-4）+2m²]=5（定值）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系、兩點(diǎn)間的距離公式，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于中檔題．