Question

12．按下列要求分配6本不同的書(shū)，各有多少種不同的分配方式？
（1）分成三份，1份1本，1份2本，1份3本；
（2）甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本；
（3）平均分成三份，每份2本；
（4）平均分配給甲、乙、丙三人，每人2本；
（5）分成三份，1份4本，另外兩份每份1本；
（6）甲、乙、丙三人中，一人得4本，另外兩人每人得1本；
（7）甲得1本，乙得1本，丙得4本．

Answer 1

分析 （1）分成三份，1份1本，1份2本，1份3本，是無(wú)序不均勻分組問(wèn)題，直接利用組合數(shù)公式求解即可．
（2）甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本，甲、乙、丙三人有序不均勻分組問(wèn)題．直接求出即可．
（3）平均分成三份，每份2本．這是平均分組問(wèn)題，求出組合總數(shù)除以A³₃即可．
（4）分給甲、乙、丙三人，每個(gè)人2本，甲、乙、丙三人有序均勻分組問(wèn)題．直接求出即可，
（5）分成三份，1份4本，另外兩份每份1本．這是部分平均分組問(wèn)題，求出組合總數(shù)除以A²₂即可，
（6）甲、乙、丙三人有序部分均勻分組問(wèn)題．直接求出即可，
（7）由有序定向分配問(wèn)題，直接求解即可．

解答 解：（1）無(wú)序不均勻分組問(wèn)題．先選1本有C¹₆種選法；再?gòu)挠嘞碌?本中選2本有C²₅種選法；最后余下3本全選有C³₃種方法，故共有C¹₆C²₅C³₃=60種．
（2）有序不均勻分組問(wèn)題．由于甲、乙、丙是不同的三人，在第（1）題基礎(chǔ)上，還應(yīng)考慮再分配，共有C¹₆C²₅C³₃A³₃=360種．
（3）無(wú)序均勻分組問(wèn)題．先分三步，則應(yīng)是C²₆C²₄C²₂種方法，但是這里出現(xiàn)了重復(fù)．不妨記6本書(shū)為A、B、C、D、E、F，若第一步取了AB，第二步取了CD，第三步取了EF，記該種分法為（AB，CD，EF），則C²₆C²₄C²₂種分法中還有（AB，EF，CD）、（CD，AB，EF）、（CD，EF，AB）、（EF，CD，AB）、（EF，AB，CD），共A³₃種情況，而這A³₃種情況僅是AB、CD、EF的順序不同，因此只能作為一種分法，故分配方式有$\frac{{C}_{6}^{2}{C}_{4}^{2}{C}_{2}^{2}}{{A}_{3}^{3}}$=15種．
（4）在（3）的基礎(chǔ)上，還應(yīng)考慮再分配，共有15A³₃=90種．
（5）無(wú)序均勻分組問(wèn)題，$\frac{{C}_{6}^{4}{C}_{2}^{1}}{{A}_{2}^{2}}$=15種，
（6）在（5）的基礎(chǔ)上，還應(yīng)考慮再分配，共有15A³₃=90種，
（7）從6本中選4本分配給丙，再選1本分配給甲，剩下的一本給乙，故有C₆⁴C₂¹=30．

點(diǎn)評(píng) 本題考查排列、組合及簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問(wèn)題，正確區(qū)分無(wú)序不均勻分組問(wèn)題．有序不均勻分組問(wèn)題．無(wú)序均勻分組問(wèn)題．是解好組合問(wèn)題的一部分；本題考查計(jì)算能力，理解能力