Question

已知平行四邊形ABCD （如圖1）中，AB=4，BC=5，對(duì)角線(xiàn)AC=3，將三角形△ACD沿AC折起至△PAC位置（圖2），使二面角P-AC-B為60°，G，H分別是PA，PC的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：PC⊥平面BGH；
（Ⅱ）求平面PAB與平面BGH夾角的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,直線(xiàn)與平面垂直的判定

專(zhuān)題：空間角

分析：（Ⅰ）證明線(xiàn)面垂直，只需證明線(xiàn)和平面內(nèi)兩條相交線(xiàn)垂直即可，由于G，H是△PAC的中位線(xiàn)，所以GH∥AC，由已知AB=4，BC=5，對(duì)角線(xiàn)AC=3，能求出GH⊥PC，只需再找出一條垂線(xiàn)即可，只要證得PB=BC，便可得到BH⊥PC，從而問(wèn)題得證．
（Ⅱ）以CE的中點(diǎn)O為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出平面PAB與平面BGH夾角的余弦值．

解答： （Ⅰ）證明：過(guò)C作CE∥AB，且CE=AB，連結(jié)BE，PE，
∵AC²+AB²=BC²，∴AC⊥AB，
∴四邊形ABCD是矩形，AC⊥CE，
∵PC⊥AC，∴AC⊥平面PEC，
∴∠PCE=60°，
∵PC=CE=4，∴△PCB是正三角形，
∵BE∥AC，∴BE⊥平面PEC，
∴BE⊥PE，∴PB=

PE2+BE2

=5=BC，
而H是PC的中點(diǎn)，∴BH⊥PC，
∵G，H是△PAC的中位線(xiàn)，
∴GH∥AC，∴GH⊥PC，
∵GH∩BH=H，
∴PC⊥平面BGH．
（Ⅱ）解：以CE的中點(diǎn)O為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
由題意知A（3，-2，0），B（3，2，0），P（0，0，2

3

），C（0，-2，0），
∴

PA

=(3，-2，-2

3

)，

PB

=（3，2，-2

3

），

PC

=(0，-2，-2

3

)，
設(shè)平面PAB的法向量

n

=（x，y，z），則

n

•

PA

=0，

n

•

PB

=0，
∴

3x-2y-2 3 z=0 3x+2y-2 3 z=0

，取x=2

3

，得y=0，z=3，∴

n

=(2

3

，0，3)，
平面BGH的法向量

PC

=(0，-2，-2

3

)，
設(shè)平面PAB與平面BGH所成的角為θ，
則cosθ=|cos＜

n

，

PC

＞|=|

-6 3

21 • 16

|=

3 7

14

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線(xiàn)與平面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．