Question

已知平面內(nèi)的動點(diǎn)P到兩定點(diǎn)M（-2，0）、N（1，0）的距離之比為2：1．
（Ⅰ）求P點(diǎn)的軌跡方程；
（Ⅱ）過M點(diǎn)作直線，與P點(diǎn)的軌跡交于不同兩點(diǎn)A、B，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求△OAB的面積的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）設(shè)P（x，y），由已知條件利用兩點(diǎn)間距離公式得

(x+2)2+y2

=2

(x-1)2+y2

，由此能求出P點(diǎn)的軌跡方程．
（Ⅱ）設(shè)直線AB方程為y=k（x+2），由

y=k(x+2) (x-2)2+y2=4

，得（1+k²）x²+4（k²-1）x+4k²=0，由△＞0，得到0＜k2＜

1

3

，由此能求出△OAB的面積的最大值．

解答： （本題滿分14分）
解：（Ⅰ）設(shè)P（x，y），
∵動點(diǎn)P到兩定點(diǎn)M（-2，0）、N（1，0）的距離之比為2：1，
∴|PM|=2|PN|，
∴

(x+2)2+y2

=2

(x-1)2+y2

，
化簡得（x-2）²+y²=4，
∴所求的P點(diǎn)的軌跡方程為（x-2）²+y²=4．…（5分）
（Ⅱ）由題設(shè)知直線AB斜率存在且不為零，
設(shè)直線AB方程為y=k（x+2）（k≠0）
由

y=k(x+2) (x-2)2+y2=4

，消去y得，（1+k²）x²+4（k²-1）x+4k²=0，
由△=16（k²-1）²-16k²（1+k²）=16（1-3k²）＞0，
解得k2＜

1

3

．
∴0＜k2＜

1

3

，…（8分）

x1+x2= 4(1-k2) 1+k2 x1x2= 4k2 1+k2

，
S_△OAB=S_△OMB-S_△OMA
=

1

2

×2|y1-y2|
=|k||x₁-x₂|
=|k|

(x1+x2)2-4x1x2

=4

k2(1-3k2) (1+k2)2

=4

-3(k2+1)2+7(k2+1)-4 (1+k2)2

，…（11分）
令t=

1

t2+1

，考察函數(shù)f（t）=-4t²+7t-3，t∈（

3

4

，1）
f（t）=-4t²+7t-3
=-4（t-

7

8

）²+

1

16

≤

1

16

，
當(dāng)t=

7

8

，即t=±

7

7

時(shí)取等號，
此時(shí)S_max=1，即△OAB的面積的最大值為1．…（14分）

點(diǎn)評：本題考查點(diǎn)的軌跡方程的求法，考查三角形面積的最大值的求法，解題時(shí)要注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．