Question

學(xué)校為測評班級學(xué)生對任課教師的滿意度，采用“100分制”打分的方式來計分．現(xiàn)從某班學(xué)生中隨機抽取10名，以下莖葉圖記錄了他們對某教師的滿意度分數(shù)（以十位數(shù)字為莖，個位數(shù)字為葉）：
規(guī)定若滿意度不低于98分，測評價該教師為“優(yōu)秀”．
（I）求從這10人中隨機選取3人，至多有1人評價該教師是“優(yōu)秀”的概率；
（Ⅱ）以這10人的樣本數(shù)據(jù)來估計整個班級的總體數(shù)據(jù)，若從該班任選3人，
記ξ表示抽到評價該教師為“優(yōu)秀”的人數(shù)，求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

考點：離散型隨機變量及其分布列,離散型隨機變量的期望與方差

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（Ⅰ）設(shè)A_i表示所取3人中有i個人評價該教師為“優(yōu)秀”，至多1人評價該教師為“優(yōu)秀”記為事件A，由P（A）=P（A₀）+P（A₁），能求出至多有1人評價該教師是“優(yōu)秀”的概率．
（Ⅱ）由已知得ξ的可能取值為0，1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)A_i表示所取3人中有i個人評價該教師為“優(yōu)秀”，
至多1人評價該教師為“優(yōu)秀”記為事件A，
則P（A）=P（A₀）+P（A₁）=

C 3 7

C 3 10

+

C 1 3 C 2 7

C 3 10

=

49

60

．
（Ⅱ）由已知得ξ的可能取值為0，1，2，3，
P（ξ=0）=（

7

10

）³=

343

1000

，
P（ξ=1）=

C

1 3

•

3

10

•(

7

10

)2=

441

1000

，
P（ξ=2）=

C

2 3

(

3

10

)2•

7

10

=

189

1000

，
P（ξ=3）=（

3

10

）³=

27

1000

，
∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3
P	343 1000	441 1000	189 1000	27 1000

Eξ=0×

343

1000

+1×

441

1000

+2×

189

1000

+3×

27

1000

=0.9．

點評：本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時要注意排列組合知識的合理運用．