Question

曲線

x=4cosα y=4sinα

(α為參數(shù))按向量a=(-

9

2

，0)平移后得到曲線P，過點M（-2，0）的直線l與曲線

x=-4t2 y=-4t

（t為參數(shù)）交于A、D兩點（A在D上方），l與曲線P交于B、C兩點（B在C上方），且|AB|=|CD|，求直線l的普通方程．

Answer 1

分析：先求出曲線P的方程為 (x+

9

2

)2+y2=16，表示以(-

9

2

，0)為圓心，以4為半徑的圓，化簡另一條曲線方程可得普通方程為 y²=-4x，表示開口向左的拋物線，由于兩曲線都關(guān)于x軸對稱，由題意可得直線l應(yīng)垂直于x軸，再由直線l過點M（-2，0）可得此直線方程．

解答：解：把曲線

x=4cosα y=4sinα

(α為參數(shù)) 利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系消去參數(shù)α，化為普通方程為 x²+y²=16，
按向量a=(-

9

2

，0)平移后得到曲線P的方程為 (x+

9

2

)2+y2=16，表示以(-

9

2

，0)為圓心，以4為半徑的圓．
曲線

x=-4t2 y=-4t

（t為參數(shù)）消去參數(shù)化為普通方程為 y²=-4x，表示開口向左的拋物線．
由于兩曲線（圓和拋物線）都關(guān)于x軸對稱，直線l與曲線

x=-4t2 y=-4t

（t為參數(shù)）交于A、D兩點（A在D上方），l與曲線P交于B、C兩點（B在C上方），且|AB|=|CD|，
可得直線l應(yīng)垂直于x軸，再由直線l過點M（-2，0）可得直線l的普通方程為 x=-2．

點評：本題主要考查把參數(shù)方程化為普通方程的方法，直線和圓錐曲線的位置關(guān)系，以及按某個向量平移函數(shù)圖象，屬于中檔題．