Question

13．如圖，已知：C是以AB為直徑的半圓O上一點(diǎn)，CH⊥AB于點(diǎn)H，直線AC與過B點(diǎn)的切線相交于點(diǎn)D，F(xiàn)為BD中點(diǎn)，連接AF交CH于點(diǎn)E，
（Ⅰ）求證：∠BCF=∠CAB；
（Ⅱ）若FB=FE=1，求⊙O的半徑．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由AB是直徑，得∠ACB=90°，由此能證明∠BCF=∠CAB．
（Ⅱ）由FC=FB=FE得：∠FCE=∠FEC，由此利用切割線定理和勾股定理能求出⊙O半徑．

解答 證明：（Ⅰ）因?yàn)锳B是直徑，所以∠ACB=90°
又因?yàn)镕是BD中點(diǎn)，所以∠BCF=∠CBF=90°-∠CBA=∠CAB
因此∠BCF=∠CAB． …（5分）
解：（Ⅱ）直線CF交直線AB于點(diǎn)G，
由FC=FB=FE得：∠FCE=∠FEC
所以FA=FG，且AB=BG
由切割線定理得：（1+FG）²=BG×AG=2BG²…①
在Rt△BGF中，由勾股定理得：BG²=FG²-BF²…②
由①、②得：FG²-2FG-3=0
解之得：FG₁=3，F(xiàn)G₂=-1（舍去）
所以AB=BG=2$\sqrt{2}$，
所以⊙O半徑為$\sqrt{2}$．…（10分）

點(diǎn)評 本題考查兩角相等的證明，考查圓的半徑的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意切割線定理的合理運(yùn)用．