Question

9．已知橢圓C的中心為坐標原點O，焦點在y軸上，離心率$e=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，橢圓上的點到焦點的最短距離為$1-\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，直線l與y軸交于點P（0，m），與橢圓C交于相異兩點A，B，且$\overline{AP}=3\overline{PB}$．
（1）求橢圓C的方程；
（2）求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由焦點在y軸上，離心率$e=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，橢圓上的點到焦點的最短距離為$1-\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，設橢圓$C：\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1\;（a＞b＞0）$，列出方程組求出a，b，由此能求出橢圓C的方程．
（2）當直線斜率不存在時：$m=±\frac{1}{2}$，當直線斜率存在時：設l與橢圓C交點為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），聯(lián)立$\left\{{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{2{x^2}+{y^2}=1}\end{array}}\right.$，得（k²+2）x²+2kmx+（m²-1）=0，由此利用根的判別式、韋達定理、向量知識，結(jié)合已知條件能求出m的取值范圍．

解答 解：（1）設橢圓$C：\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1\;（a＞b＞0）$，設c＞0，c²=a²-b²，
由條件知$a-c=1-\frac{{\sqrt{2}}}{2}，e=\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
解得$a=1，b=c=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
故橢圓C的方程為：${y^2}+\frac{x^2}{{\frac{1}{2}}}=1$．
（2）當直線斜率不存在時：$m=±\frac{1}{2}$，
當直線斜率存在時，設l為y=kx+m，與橢圓C交點為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∴$\left\{{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{2{x^2}+{y^2}=1}\end{array}}\right.$，得（k²+2）x²+2kmx+（m²-1）=0
∴△=（2km）²-4（k²+2）（m²-1）=4（k²-2m²+2）＞0，（*）
${x_1}+{x_2}=\frac{-2km}{{{k^2}+2}}，{x_1}{x_2}=\frac{{{m^2}-1}}{{{k^2}+2}}$，
∵$\overline{AP}=3\overline{PB}$，∴-x₁=3x₂，∴$\left\{{\begin{array}{l}{{x_1}+{x_2}=-2{x_2}}\\{{x_1}{x_2}=-3x_2^2}\end{array}}\right.$，
消去x₂，得$3{（{x_1}+{x_2}）^2}+4{x_1}{x_2}=0$，∴$3{（\frac{-2km}{{{k^2}+2}}）^2}+4\frac{{{m^2}-1}}{{{k^2}+2}}=0$，
整理得4k²m²+2m²-k²-2=0，${m^2}=\frac{1}{4}$時，上式不成立，
${m^2}≠\frac{1}{4}$時，${k^2}=\frac{{2-2{m^2}}}{{4{m^2}-1}}$，
∴${k^2}=\frac{{2-2{m^2}}}{{4{m^2}-1}}≥0$時，∴$-1≤m＜-\frac{1}{2}$或$\frac{1}{2}＜m≤1$，
把${k^2}=\frac{{2-2{m^2}}}{{4{m^2}-1}}$代入（*）得$-1＜m＜-\frac{1}{2}$或$\frac{1}{2}＜m＜1$，
∴$-1＜m＜-\frac{1}{2}$或$\frac{1}{2}＜m＜1$．
綜上m的取值范圍為（-1，-$\frac{1}{2}$）∪（$\frac{1}{2}$，1）．

點評 本題考查橢圓方程的求法，考查實數(shù)的取值范圍的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意橢圓性質(zhì)、根的判別式、韋達定理、向量知識的合理運用．