Question

10．已知函數(shù)f（x）=ax²-4x+2，函數(shù)g（x）=（${\frac{1}{3}}$）^f（x）．
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）在（-∞，2]和[2，+∞）上單調(diào)性相反，求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若a＜0，不等式g（x）≤9在x∈（0，$\frac{1}{2}}$]上恒成立，求a的取值范圍；
（Ⅲ）已知a≤1，若函數(shù)y=f（x）-log₂$\frac{x}{8}$在區(qū)間[1，2]內(nèi)有且只有一個零點，試確定實數(shù)a的范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）若函數(shù)f（x）在（-∞，2]和[2，+∞）上單調(diào)性相反，得到x=2是對稱軸，進(jìn)行求解即可求f（x）的解析式；
（Ⅱ）利用參數(shù)分離法將不等式g（x）≤9在x∈（0，$\frac{1}{2}}$]上恒成立轉(zhuǎn)化為求最值問題即可，求a的取值范圍；
（Ⅲ）根據(jù)函數(shù)零點和方程之間的關(guān)系，判斷函數(shù)的單調(diào)性，即可得到結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）由單調(diào)性知，函數(shù)f（x）=ax²-4x+2為二次函數(shù)，
其對稱軸為$x=-\frac{-4}{2a}=2$，解得a=1，…（2分）
∴所求f（x）=x²-4x+2．…（3分）
（Ⅱ）依題意得${（{\frac{1}{3}}）^{f（x）}}≤9={（{\frac{1}{3}}）^{-2}}$，
即${（{\frac{1}{3}}）^{a{x^2}-4x+2}}≤{（{\frac{1}{3}}）^{-2}}$在$x∈（{0，\frac{1}{2}}]$上恒成立，
轉(zhuǎn)化為ax²-4x+2≥-2在$x∈（{0，\frac{1}{2}}]$上恒成立，
?ax²-4x+4≥0在$x∈（{0，\frac{1}{2}}]$上恒成立，…（4分）
法一：轉(zhuǎn)化為a（ax²-4x+4）_min≥0…（5分）
令h（x）=ax²-4x+4，
由于a＜0，∴h（x）的對稱軸為$x=\frac{2}{a}＜0$，
結(jié)合圖象，只須$h（\frac{1}{2}）≥0$，解得-8≤a＜0．…（8分）
法二：轉(zhuǎn)化為$a≥\frac{4x-4}{x^2}=\frac{4}{x}-\frac{4}{x^2}$在$x∈（{0，\frac{1}{2}}]$上恒成立，
令$\frac{1}{x}=t\;\;（t＞2）$，則轉(zhuǎn)化為a≥4t-4t²在t∈[2，+∞）上恒成立…（4分）
即a≥（4t-4t²）_max，…（5分）a≥-8所以-8≤a＜0． …（8分）
（Ⅲ）∵$y=f（x）-{log_2}\frac{x}{8}=a{x^2}-4x+5-{log_2}x$，
設(shè)r（x）=ax²-4x+5，s（x）=log₂x，x∈[1，2]，
則原命題等價于兩個函數(shù)r（x）與s（x）的圖象在區(qū)間[1，2]內(nèi)有唯一交點．
當(dāng)a=0時，r（x）=-4x+5在[1，2]內(nèi)為減函數(shù)，s（x）=log₂x，x∈[1，2]為增函數(shù)，
且r（1）=1＞s（1）=0，r（2）=-3＜s（2）=1，∴函數(shù)在區(qū)間有唯一的交點；…（9分）
當(dāng)a＜0時，r（x）圖象開口向下，對稱軸為$x=\frac{2}{a}＜0$，
∴r（x）在[1，2]內(nèi)為減函數(shù)，s（x）=log₂x，x∈[1，2]為增函數(shù)，
且$\left\{\begin{array}{l}r（1）≥s（1）\\ r（2）≤s（2）\end{array}\right.$$⇒\left\{\begin{array}{l}a+1≥0\\ 4a-3≤1\end{array}\right.$⇒-1≤a≤1，
∴-1≤a＜0…（11分）
當(dāng)0＜a≤1時，r（x）圖象開口向上，對稱軸為$x=\frac{2}{a}≥2$，
∴r（x）在[1，2]內(nèi)為減函數(shù)，s（x）=log₂x，x∈[1，2]為增函數(shù)，
則由$\left\{\begin{array}{l}r（1）≥s（1）\\ r（2）≤s（2）\end{array}\right.$$⇒\left\{\begin{array}{l}a+1≥0\\ 4a-3≤1\end{array}\right.$⇒-1≤a≤1，
∴0＜a≤1…（13分）
綜上，所求a的取值范圍為[-1，1]…（14分）

點評 本題主要考查一元二次函數(shù)的性質(zhì)，以及不等式恒成立問題，綜合性較強(qiáng)，運算量較大，有一定的難度．