Question

如圖，在四棱錐A-BCDE中，底面四邊形BCDE是等腰梯形，BC∥DE，∠DCB=45°，O是BC的中點，AO=

3

，且BC=6，AD=AE=2CD=2

2

，
（1）證明：AO⊥平面BCD；
（2）求二面角A-CD-B的平面角的正切值．

Answer 1

考點：用空間向量求平面間的夾角,與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角,空間向量及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)線面垂直的判定定理即可證明：AO⊥平面BCD；
（2）先求二面角A-CD-B的平面角，然后利用向量法或者定義直接求二面角的正切值．

解答： 解：（1）易知OC=3，AD=2

2

，連結(jié)OD，OE，在三角形OCD中．
由余弦定理可得OD=

OC2+CD2-2OC?CDcos?45?

=

5

，
∵AD=2

2

，
∴AO²+OD²=AD²，∴AO⊥OD，
同理可證：AO⊥OE，
又OD∩OE=0，0D?平面BCD，OE?面BCD，
∴AO⊥平面BCD．
（2）以O(shè)為原點，建立空間直角坐標(biāo)系o-xyz如圖，
則A（0，0，

3

），C（0，-3，0），D（1，-2，0），
∴

CA

=(0，3，

3

)，

DA

=(-1，2，

3

)，
設(shè)

m

=(x，y，z)為平面ACD的一個法向量，
則

m ? CA =0 m ? DA =0

，
即

3y+ 3 z=0 -x+2y+ 3 =0

解得

y=-x z= 3 x

，
令x=1，則

m

=(1，-1，

3

)，
由（1）知，

OA

=（0，0，

3

）是平面CDB的一個法向量，
∴cos?＜

m

，

OA

＞=

m ? OA

| OA || m |

=

3

3 ? 5

=

15

5

，
由二面角A-CD-B為銳二面角，
∴二面角A-CD-B的平面角的正切值為

6

3

．

點評：本題主要考查空間直線和平面垂直的判斷，以及空間二面角的大小的計算，利用向量法是解決空間二面角大小的基本方法．