Question

在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，BC=2AD=4，AB=CD=

10

．
（Ⅰ）證明：BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）若二面角A-PC-D的大小為60°，求AP的值．

Answer 1

考點(diǎn)：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）設(shè)O為AC與BD的交點(diǎn)，作DE⊥BC于點(diǎn)E，證明∠BOC=90°，可得AC⊥BD．由PA⊥平面ABCD得PA⊥BD，利用線面垂直的判定定理，可得BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）方法一：作OH⊥PC于點(diǎn)H，連接DH，可得∠DHO是二面角A-PC-D的平面角，在Rt△PAC中，

PA

PC

=

OH

OC

，可求AP的值；方法二：以O(shè)為原點(diǎn)，OB，OC所在直線為x，y軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面PDC、平面PAC的法向量，利用向量的夾角公式，結(jié)合二面角A-PC-D的大小為60°，可求AP的值．

解答： （Ⅰ）證明：設(shè)O為AC與BD的交點(diǎn)，作DE⊥BC于點(diǎn)E．
由四邊形ABCD是等腰梯形得CE=

BC-AD

2

=1，DE=

DC2-CE2

=3，
所以BE=DE，從而得∠DBC=∠BCA=45°，
所以∠BOC=90°，即AC⊥BD．
由PA⊥平面ABCD得PA⊥BD，
因為AC∩PA=A，
所以BD⊥平面PAC．                 …（7分）
（Ⅱ）解：方法一：作OH⊥PC于點(diǎn)H，連接DH．
由（Ⅰ）知DO⊥平面PAC，故DO⊥PC．
所以PC⊥平面DOH，從而得PC⊥OH，PC⊥DH．
故∠DHO是二面角A-PC-D的平面角，
所以∠DHO=60°．
在Rt△DOH中，由DO=

2

，得OH=

6

3

．
在Rt△PAC中，

PA

PC

=

OH

OC

．
設(shè)PA=x，可得

x

x2+18

=

3

6

．
解得x=

3 22

11

，即AP=

3 22

11

．                   …（15分）
方法二：（Ⅱ） 由（Ⅰ）知AC⊥BD．以O(shè)為原點(diǎn)，OB，OC所在直線為x，y軸，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，如圖所示．由題意知各點(diǎn)坐標(biāo)如下：A（0，-

2

，1），B（2

2

，0，0），C（0，2

2

，0），D（-

2

，0，0）．
由PA⊥平面ABCD，得PA∥z軸，
故設(shè)點(diǎn)P（0，-

2

，t） （t＞0）．
設(shè)

m

=（x，y，z）為平面PDC的法向量，
由

CD

=（-

2

，-2

2

，0），

PD

=（-

2

，

2

，-t） 知

- 2 x-2 2 y=0 - 2 x+ 2 y-tz=0

取y=1，得

m

=（-2，1，

3 2

t

）．
又平面PAC的法向量為

n

=（1，0，0），于是
|cos＜

m

，

n

＞|=

| m • n |

| m || n |

=

2

5+ 18 t2

=

1

2

．
解得t=

3 22

11

，即AP=

3 22

11

．                  …（15分）

點(diǎn)評：本題主要考查空間線、面位置關(guān)系，二面角等基礎(chǔ)知識，空間向量的應(yīng)用，同時考查空間想象能力和運(yùn)算求解能力．