Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PDC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，且與底面垂直，底面ABCD是梯形，AD∥BC且∠ADC=60°，BC=2AD=4．
（1）求證：DC⊥PA；
（2）在PB上是否存在一點(diǎn)M（不包含端點(diǎn)P，B）使得二面角C-AM-B為直二面角，若存在求出PM的長(zhǎng)，若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：用空間向量求平面間的夾角,與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題

專(zhuān)題：空間位置關(guān)系與距離,空間向量及應(yīng)用

分析：（1）取CD的中點(diǎn)O，連結(jié)PO，OA，由△PCD為正三角形，推導(dǎo)出△ACD是正三角形，由此能證明AO⊥CD．
（2）以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，M（a，b，c），

PM

=λ

PB

，求出M（-3λ，2

3

λ，

3

-

3

λ），利用向量法求出λ=

1

5

，由此能求出PM的長(zhǎng)．

解答： （1）證明：取CD的中點(diǎn)O，連結(jié)PO，OA，
∵△PCD為正三角形，
∴PO⊥CD，∵AD=CD=2，
∴△ACD是正三角形，
∴AO⊥CD．
（2）解：∵平面PCD⊥平面ABCD，
平面PCD∩平面ABCD=CD，PO⊥CD，
∴PO⊥平面ABCD，
如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，
∵側(cè)面PDC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，且與底面垂直，
底面ABCD是梯形，AD∥BC且∠ADC=60°，BC=2AD=4，
∴D(1，0，0)，C(-1，0，0)，A（0，

3

，0），
P（0，0，

3

），B（-3，2

3

，0），設(shè)M（a，b，c），

PM

=λ

PB

，即（a，b，c-

3

）=λ（-3，2

3

，-

3

），
∴a=-3λ，b=2

3

λ，c=

3

-

3

λ，∴M（-3λ，2

3

λ，

3

-

3

λ），
∴

AM

=(-3λ，2

3

λ-

3

，

3

-

3

λ)，

CM

=(-3λ+1，2

3

λ，

3

-

3

λ)，

AB

=(-3，

3

，0)，
設(shè)平面CAM的法向量

m

=(x，y，z)，
則

m

•

AM

=0，

m

•

CM

=0，
∴

-3λx+(2 3 λ- 3 )y+( 3 - 3 λ)z=0 (-3λ+1)x+2 3 λy+( 3 - 3 λ)z=0

，
取z=0，y=

3

，得x=2-

1

λ

=-

6λ

-3λ+1

，
解得λ=

1

5

，∴

m

=（2-

1

λ

，

3

，0），
∵設(shè)平面ABM的法向量

n

=（x₁，y₁，z₁），
則

n

•

AM

=0，

n

•

AB

=0，
∴

-3λx1+(2 3 λ- 3 )y1+( 3 - 3 λ)z1=0 -3x1+ 3 y1=0

，
∴

n

=（1，

3

，

3 λ- 3

1-λ

），
∵二面角C-AM-B為直二面角，
∴

m

•

n

=2-

1

λ

+3+0=0，
解得λ=

1

5

∵P（0，0，

3

），B（-3，2

3

，0），
∴|

PM

|=

1

5

|

PB

|=

1

5

9+12+3

=

2 6

5

．
∴PM的長(zhǎng)為

2 6

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查異面直線垂直的證明，考查線段長(zhǎng)的求法，綜合性強(qiáng)，難度較大，解題時(shí)要注意向量法的合理運(yùn)用．