Question

16．在四棱錐P-ABC中，PD⊥平面ABCD，四邊形ABCD是菱形，且∠DAB=60°，PD=AD，點(diǎn)E為AB中點(diǎn)，點(diǎn)F為PD中點(diǎn)．
（1）求證：平面PEF⊥平面PAB；
（2）求二面角P-AB-F的余弦值．

Answer 1

分析 （1）連接BD，通過四邊形ABCD是菱形、∠DAB=60°且E是AB中點(diǎn)，可得AB⊥DE，通過PD⊥面ABCD可得AB⊥PD，利用線面、面面垂直的判定定理即得結(jié)論；
（2）連接EF，則∠PEF為二面角P-AB-F的平面角，在△PEF中利用余弦定理計(jì)算即可．

解答 （1）證明：連接BD，
∵四邊形ABCD是菱形，∠DAB=60°，
∴△ADB為等邊三角形，
∵E是AB中點(diǎn)，∴AB⊥DE，
∵PD⊥面ABCD，AB?面ABCD，∴AB⊥PD，
∵DE?面PED，PD?面PED，DE∩PD=D，∴AB⊥面PED，
∵AB?面PAB，∴面PEF⊥面PAB；
（2）解：∵AB⊥平面PED，PE?面PED，∴AB⊥PE．連接EF，
∵EF?面PED，∴AB⊥EF，
∴∠PEF為二面角P-AB-F的平面角，
設(shè)AD=2，那么PF=FD=1，DE=$\sqrt{3}$，
∴在△PEF中，PE=$\sqrt{7}$，EF=2，PF=1，
∴cos∠PEF=$\frac{（\sqrt{7}）^{2}+{2}^{2}-1}{2×2\sqrt{7}}$=$\frac{5\sqrt{7}}{14}$，
即二面角P-AB-F的平面角的余弦值為$\frac{5\sqrt{7}}{14}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查空間中線面的位置關(guān)系，考查余弦定理，注意解題方法的積累，屬于中檔題．