Question

8．已知橢圓Γ：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{1}{2}$，其左、右焦點(diǎn)分別是F₁（-1，0）和F₂（1，0），過(guò)點(diǎn)F₂的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓Γ的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）若|AF₂|=$\frac{5}{2}$，求三角形AF₁F₂的面積；
（Ⅲ）在橢圓Γ上是否存在點(diǎn)P，使得點(diǎn)P同時(shí)滿足：①過(guò)點(diǎn)P且平行于AB的直線與橢圓有Γ且只有一個(gè)公共點(diǎn)；②線段PF₁的中點(diǎn)在直線AB上？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；否則請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由離心率e=$\frac{1}{2}$，c=1，及其b²=a²-c²，解出即可；
（Ⅱ）由橢圓定義可得：|AF₁|=2a-|AF₂|，又|F₁F₂|=2，利用勾股定理的逆定理可得：AF₁⊥F₁F₂，可得${S}_{△A{F}_{1}{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}|A{F}_{1}||{F}_{1}{F}_{2}|$．
（Ⅲ）存在，點(diǎn)P的坐標(biāo)為$（\frac{4}{3}，±\frac{\sqrt{15}}{3}）$．理由如下：當(dāng)直線AB⊥y軸時(shí)，與題意不符．故設(shè)直線AB：x=ty+1，由此可得過(guò)點(diǎn)P且平行于AB的直線為l：x=ty+m（m≠1），利用線段PF₁的中點(diǎn)在直線AB上，可得點(diǎn)F₁到直線AB的距離等于兩平行直線AB與l之間的距離，解得m=-1或m=3．分類討論，與橢圓方程聯(lián)立，利用△=0，解出即可得出．

解答 解：（Ⅰ）由已知，離心率e=$\frac{1}{2}$，c=1，解得a=2，b²=a²-c²=3，
從而橢圓Γ的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
（Ⅱ）由橢圓定義可得：|AF₁|=2a-|AF₂|=4-$\frac{5}{2}$=$\frac{3}{2}$，
又|F₁F₂|=2，因此$|A{F}_{2}{|}^{2}=|A{F}_{1}{|}^{2}+|{F}_{1}{F}_{2}{|}^{2}$，
∴AF₁⊥F₁F₂，
故${S}_{△A{F}_{1}{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}|A{F}_{1}||{F}_{1}{F}_{2}|$=$\frac{1}{2}×\frac{3}{2}×2$=$\frac{3}{2}$．
（Ⅲ）存在，點(diǎn)P的坐標(biāo)為$（\frac{4}{3}，±\frac{\sqrt{15}}{3}）$．理由如下：
當(dāng)直線AB⊥y軸時(shí)，與題意不符．
故設(shè)直線AB：x=ty+1，
由此可得過(guò)點(diǎn)P且平行于AB的直線為l：x=ty+m（m≠1），
∵線段PF₁的中點(diǎn)在直線AB上，
∴點(diǎn)F₁到直線AB的距離等于兩平行直線AB與l之間的距離，
即$\frac{|-1-1|}{\sqrt{{t}^{2}+1}}$=$\frac{|-m+1|}{\sqrt{{t}^{2}+1}}$，解得m=-1或m=3．
由于m=-1時(shí)，直線l：x=ty-1過(guò)點(diǎn)F₁，不符合條件，故舍去．
由此得直線l為x=ty+3，聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x=ty+3}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，
得到（3t²+4）y²+18ty+15=0，…①
由于直線為l與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，
故△=（18t）²-4×（3t²+4）×15=0，解得t=$±\frac{\sqrt{15}}{3}$，
此時(shí)方程①為$3{y}^{2}±2\sqrt{15}y+5$=0，
解得y=$±\frac{\sqrt{15}}{3}$為點(diǎn)P的縱坐標(biāo)，
滿足題意的點(diǎn)P的坐標(biāo)為$（\frac{4}{3}，±\frac{\sqrt{15}}{3}）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓方程相切轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得△=0、點(diǎn)到直線的距離公式、勾股定理的逆定理，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．