Question

（1）在極坐標(biāo)系中，已知圓ρ=2cosθ與直線3ρcosθ+4ρsinθ+a=0相切，求實數(shù)a的值．
（2）對5副不同的手套進行不放回抽取，甲先任取一只，乙再任取一只，然后甲又任取一只，最后乙再任取一只．對于下列事件：①A：甲正好取得兩只配對手套；②B：乙正好取得兩只配對手套．試判斷事件A與B是否獨立？并證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點：點的極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化,古典概型及其概率計算公式,直線與圓的位置關(guān)系

專題：計算題

分析：（1）先圓ρ=2cosθ與直線3ρcosθ+4ρsinθ+a=0，利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)間的關(guān)系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ²=x²+y²，進行代換即得直角坐標(biāo)系，再利用直角坐標(biāo)方程求解即可．
（2）從10只手套中任取4只有C₁₀⁴種不同的取法，甲先任取一只要從5對中取一對且一對中又有兩種不同的取法，余下的乙從8只手套中取兩只，有C₈²中取法，根據(jù)古典概型公式得到結(jié)果．乙正好取得兩只配對手套做法同乙完全相同．要驗證兩個時間是否獨立，只要驗證兩個概率的乘積是否等于兩個事件同時發(fā)生的概率，代入解出的結(jié)果進行驗證．

解答： 解：（1）p²=2pcosθ，圓ρ=2cosθ的普通方程為：x²+y²=2x，（x-1）²+y²=1，
直線3ρcosθ+4ρsinθ+a=0的普通方程為：3x+4y+a=0，
又圓與直線相切，所以

|3•1+4•0+a|

9+16

=1，解得：a=2，或a=-8．
（2）設(shè)“甲正好取得兩只配對手套”為事件A
∵從10只手套中任取4只有C₁₀⁴種不同的取法，
甲先任取一只要從5對中取一對且一對中又有兩種不同的取法，
余下的乙從8只手套中取兩只，有C₈²中取法，
根據(jù)古典概型公式得到
P（A）=

C 1 5 ×2× A 2 8

A 4 10

=

1

9

．
P（B）=

C 1 5 ×2× A 2 8

A 4 10

=

1

9

．
∵從10只手套中任取4只有C₁₀⁴種不同的取法，
甲乙兩個人都取得成對的手套有C₅²×2×C₂¹×2種不同取法，
∴P（AB）=

C 2 5 ×2× C 1 2 ×2

A 4 10

=

1

63

，
又P（A）=

1

9

，P（B）=

1

9

，
∴P（A）P（B）=

1

81

，
∴P（A）P（B）≠P（AB），故A與B是不獨立的．

點評：（1）本小題主要考查曲線的極坐標(biāo)方程等基本知識，考查轉(zhuǎn)化問題的能力．
（2）對于第（2）小問，手套或鞋子成對問題是概率題目中較困難的問題，可拿一個典型題目認真分析，看清題目解答過程，使得以后遇到知道怎么考慮．本題還考查相互獨立事件，一般地，如果事件 相互獨立，那么事件同時發(fā)生的概率，等于每個事件發(fā)生的概率的積．