Question

10．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，PD=DC=2，點(diǎn)E為PC的中點(diǎn)，EF⊥PB，垂足為F點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：PA∥平面EDB；
（Ⅱ）求證：PB⊥平面EFD；
（Ⅲ）求異面直線BE與PA所成角的大�。�

Answer 1

分析 （I）以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA、DC、DP所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，連接AC，AC交BD于點(diǎn)G，連接EG．分別求出PA，EG的方向向量，易判斷PA與EG平行，進(jìn)而由線面平行的判定定理得到答案．
（II）分別求出DE與PB的方向向量，由它們的數(shù)量積為0，易得DE⊥PB，再由EF⊥PB結(jié)合線面垂直的判定定理即可得到答案．
（III）求出$\overrightarrow{BE}$=（-2，-1，1），$\overrightarrow{PA}$=（2，0，-2），即可求異面直線BE與PA所成角的大�。�

解答 （I）證明：如圖，以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA、DC、DP所在直線分別為x軸、y軸、z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，得以下各點(diǎn)坐標(biāo)：D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），
C（0，2，0），P（0，0，2）…（1分）
連接AC，AC交BD于點(diǎn)G，連接EG．∵底面ABCD是正方形，∴G為AC的中點(diǎn)．G點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1，0）．
又E為PC的中點(diǎn)，E點(diǎn)坐標(biāo)為（0，1，1），
∴$\overrightarrow{PA}$=（2，0，-2），$\overrightarrow{EG}$=（1，0，-1）
∴$\overrightarrow{PA}$=2$\overrightarrow{EG}$
∴PA∥EG
∵EG?平面EDB，PA?平面EDB，
∴PA∥平面EDB   
（II）證明：∵$\overrightarrow{PB}$=（2，2，-2），$\overrightarrow{DE}$=（0，1，1）
∴$\overrightarrow{PB}$•$\overrightarrow{DE}$=0
∴PB⊥DE
又∵DE⊥PB，EF⊥PB，DE∩EF=E，
∴PB⊥平面EFD．
（III）解：∵$\overrightarrow{BE}$=（-2，-1，1），$\overrightarrow{PA}$=（2，0，-2），
∴|cos＜$\overrightarrow{BE}$，$\overrightarrow{PA}$＞|=|$\frac{-6}{\sqrt{6}×2\sqrt{2}}$|=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴異面直線BE與PA所成角的大小為30°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是用空間向量求平面間的夾角，直線與平面平行的判定，直線與平面垂直的判定，二面角的平面角及求法，其中幾何法的關(guān)鍵是熟練掌握空間直線與平面位置關(guān)系的定義、判定、性質(zhì)及幾何特征，建立良好的空間想像能力，幾何法的關(guān)鍵是建立適當(dāng)?shù)目臻g坐標(biāo)系，將空間線面關(guān)系及線面夾角問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量夾角問(wèn)題．