Question

17．已知函數(shù)f（x）=2x-$\frac{a}{x}$的定義域?yàn)椋?，1]（其中a是實(shí)數(shù)）
（1）當(dāng)a=-1時(shí)，求函數(shù)y=f（x）的值域；
（2）若函數(shù)y=f（x）在定義域上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）求不等式f（x）≥0的解集．

Answer 1

分析 （1）a=-1時(shí)，f（x）=2x+$\frac{1}{x}$（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]上遞減，在（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1）遞增，繼而求出函數(shù)的值域；
（2）先求導(dǎo)數(shù)f′（x），由已知可得f′（x）≤0在（0，1]恒成立，運(yùn)用參數(shù)分離，求出右邊的最小值即可；
（3）根據(jù)a的值進(jìn)行分類討論，得到不等式的解集．

解答 解：（1）a=-1時(shí)，f（x）=2x+$\frac{1}{x}$在（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]上為遞減，
在（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1）遞增，
∴當(dāng)x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$時(shí)，函數(shù)有最小值為f（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）=2$\sqrt{2}$，
當(dāng)x→0時(shí)，f（x）→+∞，
故函數(shù)y=f（x）的值域?yàn)閇2$\sqrt{2}$，+∞）；
（2）f（x）=2x-$\frac{a}{x}$的定義為x≠0，
∴f′（x）=2+$\frac{a}{{x}^{2}}$=$\frac{2{x}^{2}+a}{{x}^{2}}$，
∵函數(shù)y=f（x）在定義域上是減函數(shù)，
∴f′（x）≤0在（0，1]恒成立，
∴$\frac{2{x}^{2}+a}{{x}^{2}}$≤0，
即a≤-2x²，
由于-2x²在（0，1]遞減，則最小值為-2．
則a≤-2．
（3）f（x）=2x-$\frac{a}{x}$≥0，x∈（0，1]，
∴2x²-a≥0，
即x²≥$\frac{a}{2}$，
當(dāng)a≤0時(shí)，解得0＜x≤1，
當(dāng)a＞0時(shí)，解得x≥$\frac{\sqrt{2a}}{2}$，
當(dāng)0＜a＜2時(shí)，解得$\frac{\sqrt{2a}}{2}$≤x≤1，
當(dāng)a=2時(shí)，解得x=1，
當(dāng)a＞2時(shí)，無(wú)解，
綜上所述，當(dāng)a≤0時(shí)，解集為（0，1]，
當(dāng)0＜a＜2時(shí)，解集為[$\frac{\sqrt{2a}}{2}$，1]，
當(dāng)a=2時(shí)，解集為{1}，
當(dāng)a＞2時(shí)，解集為∅．

點(diǎn)評(píng) 本題考查已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的范圍，注意運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求解，同時(shí)也可以運(yùn)用單調(diào)性的定義，以及不等式的解法，考查運(yùn)算能力分類討論的能力，屬于中檔題