Question

7．已知冪函數(shù)f（x）=x${\;}^{{m}^{2}-2m-3}$（m∈N^*）的圖象關(guān)于y軸對稱，且在（0，+∞）上是減函數(shù)，求滿足（a+1）${\;}^{\frac{m}{2}}$＜（3-2a）${\;}^{\frac{m}{2}}$的實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 根據(jù)冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)，求出m的值，再把不等式（a+1）${\;}^{\frac{m}{2}}$＜（3-2a）${\;}^{\frac{m}{2}}$化為等價的不等式組，
求出它的解集即可．

解答 解：∵冪函數(shù)f（x）=x${\;}^{{m}^{2}-2m-3}$的圖象關(guān)于y軸對稱，且在（0，+∞）上是減函數(shù)，
∴m²-2m-3＜0，
解得-1＜m＜3；
又m∈N^*，
∴當(dāng)m=1時，1²-2×1-3=-4，滿足題意；
當(dāng)m=2時，2²-2×2-3=-3，不滿足題意；
∴不等式（a+1）${\;}^{\frac{m}{2}}$＜（3-2a）${\;}^{\frac{m}{2}}$化為
$\sqrt{a+1}$＜$\sqrt{3-2a}$，
即$\left\{\begin{array}{l}{a+1≥0}\\{3-2a≥0}\\{a+1＜3-2a}\end{array}\right.$，
解這個不等式，得實數(shù)a的取值范圍是-1≤a＜$\frac{2}{3}$．

點評 本題考查了冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，也考查了不等式的解法與應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．