Question

2．已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}$cos²x-2sinxcosx-$\sqrt{3}$sin²x．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期及對稱軸；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上的最小值及所對應(yīng)的x值．

Answer 1

分析 （1）利用降次公式和二倍角，輔助角公式化簡，根據(jù)周期公式和三角函數(shù)的性質(zhì)求解最小正周期及對稱軸；
（2）根據(jù)x∈[0，$\frac{π}{2}$]上，求解內(nèi)層函數(shù)的范圍，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)求解出最小值及所對應(yīng)的x值．

解答 解：函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}$cos²x-2sinxcosx-$\sqrt{3}$sin²x．
化簡可得：f（x）=$\sqrt{3}$（$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}$cos2x-sin2x-$\sqrt{3}$（$\frac{1}{2}-\frac{1}{2}$cos2x）=$\sqrt{3}$cos2x-sin2x=2cos（2x+$\frac{π}{6}$）
∴函數(shù)f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}=π$．
令2x+$\frac{π}{6}$=kπ（k∈Z）
可得：x=$\frac{1}{2}kπ-\frac{π}{12}$
∴函數(shù)f（x）的對稱軸：x=$\frac{1}{2}kπ-\frac{π}{12}$（k∈Z）
（2）∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]上，
∴2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]
當2x+$\frac{π}{6}$=π時，函數(shù)f（x）取得最小值為：2cosπ=-2，
此時：x=$\frac{5π}{12}$．
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上的最小值為-2，所對應(yīng)的x值為$\frac{5π}{12}$．

點評 本題考查了三角函數(shù)的化簡和計算能力．三角函數(shù)性質(zhì)的運用．屬于基礎(chǔ)題．