Question

11．已知數(shù)列滿足：a₁=1，a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}+2}$（n∈N^*），若b_n+1=（n-λ）（$\frac{1}{{a}_{n}}$+1），b₁=-6，且遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)λ的取值范圍為λ＜3．

Answer 1

分析 a₁=1，a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}+2}$（n∈N^*），兩邊取倒數(shù)可得：$\frac{1}{{a}_{n+1}}$+1=$2（\frac{1}{{a}_{n}}+1）$，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得$\frac{1}{{a}_{n}}$．又b_n+1=（n-λ）（$\frac{1}{{a}_{n}}$+1）=（n-λ）•2ⁿ，又b₁=-6，且遞增數(shù)列，可得b₂=（2-λ）•2＞b₁=-6，n≥2時(shí)，b_n+1＞b_n．解出即可得出．

解答 解：∵a₁=1，a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}+2}$（n∈N^*），
兩邊取倒數(shù)可得：$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{2}{{a}_{n}}$+1，變形為$\frac{1}{{a}_{n+1}}$+1=$2（\frac{1}{{a}_{n}}+1）$，
∴數(shù)列$\{\frac{1}{{a}_{n}}+1\}$是等比數(shù)列，首項(xiàng)為2，公比為2，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$+1=2ⁿ，
∴b_n+1=（n-λ）（$\frac{1}{{a}_{n}}$+1）=（n-λ）•2ⁿ，
又b₁=-6，且遞增數(shù)列，
∴b₂=（2-λ）•2＞b₁=-6，n≥2時(shí)，b_n+1＞b_n．
化為$\left\{\begin{array}{l}{λ＜5}\\{λ＜3}\end{array}\right.$，解得λ＜3．
∴實(shí)數(shù)λ的取值范圍為λ＜3．
故答案為：λ＜3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了遞推關(guān)系的應(yīng)用、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、數(shù)列的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．