Question

1．已知函數(shù)g（x）=x+1，x∈[0，2]，f（x）=x²+mx+2．
（1）若方程f（x）=-$\frac{1}{2}$m有兩個實根x₁，x₂，求x₁²+x₂²的取值范圍；
（2）若函數(shù)F（x）=f（x）-g（x）有兩個零點，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）方程f（x）=-$\frac{1}{2}$m有兩個實根x₁，x₂，即方程x²+$\frac{3}{2}$mx+2=0有兩個實根x₁，x₂，故△=$\frac{9}{4}{m}^{2}-8≥0$，x₁+x₂=$-\frac{3}{2}$m，x₁•x₂=2，進(jìn)而可得x₁²+x₂²的取值范圍；
（2）若函數(shù)F（x）=f（x）-g（x）有兩個零點，即方程x²+mx+2-（x+1）=x²+（m-1）x+1=0有兩個不等的實根，故△=（m-1）²-4＞0，解得答案．

解答 解：（1）∵方程f（x）=-$\frac{1}{2}$m有兩個實根x₁，x₂，
即方程x²+$\frac{3}{2}$mx+2=0有兩個實根x₁，x₂，
故△=$\frac{9}{4}{m}^{2}-8≥0$，
x₁+x₂=$-\frac{3}{2}$m，x₁•x₂=2，
故x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=$\frac{9}{4}{m}^{2}-4$=$\frac{9}{4}{m}^{2}-8+4$≥0；
（2）若函數(shù)F（x）=f（x）-g（x）有兩個零點，
即方程x²+mx+2-（x+1）=x²+（m-1）x+1=0有兩個不等的實根，
故△=（m-1）²-4＞0，解得：m＜-1，或m＞3．

點評 本題考查的知識點是函數(shù)零點與方程的根，轉(zhuǎn)化思想，難度中檔．