Question

定義：若在上為增函數(shù)，則稱為“k次比增函數(shù)”，其中. 已知其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

（1）若是“1次比增函數(shù)”，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在上的最小值；

（3）求證：.

 

Answer 1

(1) ;(2)詳見解析；(3)詳見解析.3.詳見解析.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）由于是“1次比增函數(shù)”，得到在上為增函數(shù)，求導(dǎo)后，導(dǎo)數(shù)大于等于0，分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為恒成立，求最值的問題，即可得到實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，得到函數(shù),，利用導(dǎo)數(shù)即可得到的單調(diào)區(qū)間，分成,三種情況進(jìn)行分類討論即可函數(shù)在上單調(diào)性，進(jìn)而得到其最小值；

（Ⅲ）由（Ⅱ）當(dāng)時(shí)， ,即 ，則 ，即可證明：.，

試題解析：（1）由題意知上為增函數(shù)，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719260580865967/SYS201411171926245750316926_DA/SYS201411171926245750316926_DA.019.png">在上

恒成立.又，則在上恒成立，

即在上恒成立. 而當(dāng)時(shí)，，所以，

于是實(shí)數(shù)a的取值范圍是. 4分

（2）當(dāng)時(shí)，，則.

當(dāng)，即時(shí)，；

當(dāng)，即時(shí)，.

則的增區(qū)間為（2，＋∞），減區(qū)間為（－∞，0），（0，2）. 6分

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719260580865967/SYS201411171926245750316926_DA/SYS201411171926245750316926_DA.036.png">，所以，

①當(dāng)，即時(shí)，在[]上單調(diào)遞減，

所以.

②當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，

在上單調(diào)遞增，所以.

③當(dāng)時(shí)，在[]上單調(diào)遞增，所以.

綜上，當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，. 9分

（3）由（2）可知，當(dāng)時(shí)，，所以，

可得 11分

于是

14分

考點(diǎn)：1.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；2.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值.