Question

如果三棱錐A-BCD的底面BCD是正三角形，頂點A在底面BCD上的射影是△BCD的中心，則這樣的三棱錐稱為正三棱錐．給出下列結論：
①正三棱錐所有棱長都相等；
②正三棱錐至少有一組對棱（如棱AB與CD）不垂直；
③當正三棱錐所有棱長都相等時，該棱錐內任意一點到它的四個面的距離之和為定值；
④若正三棱錐所有棱長均為2

2

，則該棱錐外接球的表面積等于12π．
⑤若正三棱錐A-BCD的側棱長均為2，一個側面的頂角為40°，過點B的平面分別交側棱AC，AD于M，N．則△BMN周長的最小值等于2

3

．
以上結論正確的是

 

（寫出所有正確命題的序號）．

Answer 1

考點：棱錐的結構特征

專題：綜合題,空間位置關系與距離

分析：根據(jù)正三棱錐的定義，對每個命題進行判斷，即可得出結論．

解答： 解：①正三棱錐所有側棱長都相等，底邊長都相等，故不正確；
②正三棱錐頂點A在底面BCD上的射影是△BCD的中心，故對棱（如棱AB與CD）垂直，故不正確；
③當正三棱錐所有棱長都相等時，該棱錐內任意一點到它的四個面的距離之和等于此正四面體的高，為定值，故正確；
④若正三棱錐所有棱長均為2

2

，則該棱錐外接球半徑為

3

，表面積等于12π，正確．
⑤若正三棱錐A-BCD的側棱長均為2，一個側面的頂角為40°，過點B的平面分別交側棱AC，AD于M，N．則△BMN周長的最小值等于

22+22-2×2×2×(- 1 2 )

=2

3

，故正確．
故答案為：③④⑤．

點評：本題綜合考查空間線面關系，類比、轉化思想，較難題．