Question

3．如圖，已知AB⊥平面BEC，AB∥CD，AB=BC=4，CD=2，△BEC為等邊三角形．
（Ⅰ）求證：平面ABE⊥平面ADE；
（ⅡⅡ）求二面角A-DE-B的平面角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取BC中點(diǎn)O、AD中點(diǎn)F，連結(jié)EO、OF．以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)E、OC、OF所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，通過平面ABE的法向量與平面ADE的法向量的數(shù)量積為0即得結(jié)論；
（Ⅱ）所求值即為平面ADE的法向量與平面BDE的法向量的夾角的余弦值的絕對(duì)值，計(jì)算即可．

解答 （Ⅰ）證明：取BC中點(diǎn)O、AD中點(diǎn)F，連結(jié)EO、OF，
∵△BEC為邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，
∴OE⊥BC，OE=2$\sqrt{3}$，
∵AB⊥平面BEC，AB∥CD，AB=4，CD=2，
∴OF⊥平面BEC，OF=3，
∴OE、OC、OF兩兩垂直．
如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)E、OC、OF所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，
則O（0，0，0），E（2$\sqrt{3}$，0，0），C（0，2，0），B（0，-2，0），
F（0，0，3），A（0，-2，4），D（0，2，2），
∴$\overrightarrow{BA}$=（0，0，4），$\overrightarrow{EA}$=（-2$\sqrt{3}$，-2，4），$\overrightarrow{DA}$=（0，-4，2），
設(shè)平面ABE的法向量是$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），則$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{m}$=0，$\overrightarrow{EA}$•$\overrightarrow{m}$=0，
取y=$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{m}$=（-1，$\sqrt{3}$，0），
設(shè)平面ADE的法向量是$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），則$\overrightarrow{DA}$•$\overrightarrow{n}$=0，$\overrightarrow{EA}$•$\overrightarrow{n}$=0，
取z=2，得$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$，1，2），
∵$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=（-1，$\sqrt{3}$，0）•（$\sqrt{3}$，1，2）=0，
∴$\overrightarrow{m}$⊥$\overrightarrow{n}$，即平面ABE⊥平面ADE；
（Ⅱ）解：由（I）知$\overrightarrow{DA}$=（0，-4，2），$\overrightarrow{DE}$=（2$\sqrt{3}$，-2，-2），$\overrightarrow{DB}$=（0，-4，-2），
設(shè)平面ADE的法向量是$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），則$\overrightarrow{DA}$•$\overrightarrow{m}$=0，$\overrightarrow{DE}$•$\overrightarrow{m}$=0，
取y=1，得$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}$，1，2），
設(shè)平面BDE的法向量是$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），則$\overrightarrow{DE}$•$\overrightarrow{n}$=0，$\overrightarrow{DB}$•$\overrightarrow{n}$=0，
取z=6，得$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$，-3，6），
∴cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{3-3+12}{\sqrt{3+1+4}•\sqrt{3+9+36}}$=$\frac{\sqrt{6}}{4}$，
∴二面角A-DE-B的平面角的余弦值為$\frac{\sqrt{6}}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查面面垂直的判定，以及求二面角的三角函數(shù)值，注意解題方法的積累，屬于中檔題．