Question

15．已知正方形ABCD的邊長為1，PD⊥平面ABCD，且PD=1，E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點．
（1）求點D到平面PEF的距離；
（2）求直線AC到平面PEF的距離．

Answer 1

分析 （1）建立如圖坐標系，求出平面的法向量，即可求出點D到平面PEF的距離；
（2）利用AC∥EF，可得直線AC到平面PEF的距離也即是點A到平面PEF的距離．

解答 解：（1）建立如圖坐標系，則A（1，0，0），E（1，$\frac{1}{2}$，0），F(xiàn)（$\frac{1}{2}$，1，0）P（0，0，1）
∴$\overrightarrow{EF}$=（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$，0），$\overrightarrow{PE}$=（1，$\frac{1}{2}$，-1）
設平面的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y=0}\\{x+\frac{1}{2}y-z=0}\end{array}\right.$
故$\overrightarrow{n}$=（2，2，3），
∴點D到平面PEF的距離d=$\frac{|2+1|}{\sqrt{4+4+9}}$=$\frac{3}{17}\sqrt{17}$；
（2）∵AC∥EF
∴直線AC到平面PEF的距離也即是點A到平面PEF的距離
又$\overrightarrow{AE}$=（0，$\frac{1}{2}$，0）
∴點A到平面PEF的距離為d=$\frac{1}{\frac{1}{2}•\sqrt{17}}$=$\frac{2\sqrt{17}}{17}$．

點評 本題考查點D到平面PEF的距離、直線AC到平面PEF的距離，考查向量知識的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．