Question

13．橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）離心率e=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，準(zhǔn)線方程為x=2$\sqrt{2}$，左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂
（1）求橢圓C的方程
（2）已知點(diǎn)P（${\sqrt{2}$，1）點(diǎn)M在線段PF₂上，且MF₁+MF₂=3，F(xiàn)₁M延長(zhǎng)線交橢圓于點(diǎn)Q，求$\frac{{{S_{△MP{F_1}}}}}{{{S_{△MQ{F_2}}}}}$；
?（3）點(diǎn)A、B為橢圓C上動(dòng)點(diǎn)，PA、PB斜率分別為k₁，k₂，當(dāng)k₁k₂=-$\frac{1}{2}$時(shí)，求$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意可得：$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{{a}^{2}}{c}$=2$\sqrt{2}$，a²=b²+c²，聯(lián)立解出即可得出．
（2）由P$（\sqrt{2}，1）$，F(xiàn)₂$（\sqrt{2}，0）$，可設(shè)M$（\sqrt{2}，t）$（1＞t＞0），由MF₁+MF₂=3，可得t，解得M．把直線F₁M方程與橢圓方程聯(lián)立得Q，可得PF₁∥BF₁，△MPF₁∽△MF₂Q．因此$\frac{{{S_{△MP{F_1}}}}}{{{S_{△MQ{F_2}}}}}$=$（\frac{PM}{{F}_{2}M}）^{2}$．
（3）設(shè)PA：$y-1={k_1}（x-\sqrt{2}）$，則PB：$y-1=-\frac{1}{{2{k_1}}}（x-\sqrt{2}）$，分別與橢圓方程聯(lián)立可得x_A+x_B=0．又點(diǎn)A、B在橢圓C上，則O為線段AB中點(diǎn)，利用數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)即可得出．

解答 解：（1）由題意可得：$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{{a}^{2}}{c}$=2$\sqrt{2}$，a²=b²+c²，聯(lián)立解得：a=2，b=$\sqrt{2}$=c．
∴橢圓C的方程為：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$．
（2）∵P$（\sqrt{2}，1）$，F(xiàn)₂$（\sqrt{2}，0）$，∴設(shè)M$（\sqrt{2}，t）$（1＞t＞0），
由MF₁+MF₂=3，可得$\sqrt{{{（2\sqrt{2}）}^2}+{t^2}}+t=3（0＜t＜1）$，解得$t=\frac{1}{6}$，
∴∴$M（\sqrt{2}，\frac{1}{6}）$．
則直線F₁M方程為：$y=\frac{1}{{12\sqrt{2}}}（x+\sqrt{2}）$，
由$\left\{{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{{12\sqrt{2}}}（x+\sqrt{2}）}\\{\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1}\end{array}}\right.$且x＞0，得$Q（{\frac{{7\sqrt{2}}}{5}，\frac{1}{5}}）$，
∴${k_{P{F_1}}}={k_{Q{F_2}}}$，故PF₁∥BF₁，∴△MPF₁∽△MF₂Q．
∴$\frac{{{S_{△MP{F_1}}}}}{{{S_{△MQ{F_2}}}}}$=$（\frac{PM}{{F}_{2}M}）^{2}$=$（\frac{\frac{5}{6}}{\frac{1}{6}}）^{2}$=25．
（3）設(shè)PA：$y-1={k_1}（x-\sqrt{2}）$，則PB：$y-1=-\frac{1}{{2{k_1}}}（x-\sqrt{2}）$，
由$\left\{{\begin{array}{l}{y={k_1}（x-\sqrt{2}）+1}\\{\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1}\end{array}}\right.$，得${x_A}=\frac{{2\sqrt{2}k_1^2-4{k_1}-\sqrt{2}}}{2k_1^2+1}$，
同理${x_B}=\frac{{\sqrt{2}+4{k_1}-2\sqrt{2}k_1^2}}{2k_1^2+1}$，
∴x_A+x_B=0．
又點(diǎn)A、B在橢圓C上，則O為線段AB中點(diǎn)，
∴$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$=$（\overrightarrow{PO}+\overrightarrow{OA}）•（\overrightarrow{PO}+\overrightarrow{OB}）=（\overrightarrow{PO}+\overrightarrow{OA}）（\overrightarrow{PO}-\overrightarrow{OA}）={\overrightarrow{PO}^2}-{\overrightarrow{OA}^2}$，
∵點(diǎn)A在橢圓C上，∴${\overrightarrow{OA}^2}∈[{b^2}，{a^2}]$，∴$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}∈[-1，1]$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問(wèn)題、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)、斜率計(jì)算公式，考查了分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力、推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．