19.已知F1,F(xiàn)2是雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1(a>0,b>0)的兩個焦點,M為該雙曲線右支上一點,且|MF1|2,$\frac{1}{2}$|F1F2|2,|MF2|2成等差數(shù)列,該點到x軸的距離為$\frac{c}{2}$,則該雙曲線的離心率為$\sqrt{2}$.

分析 確定△MF1F2是直角三角形,利用勾股定理,三角形的面積公式,雙曲線的定義,可得a,c的關(guān)系,即可求出雙曲線的離心率.

解答 解:∵|MF1|2,$\frac{1}{2}$|F1F2|2,|MF2|2成等差數(shù)列,
∴|MF1|2+|MF2|2=|F1F2|2,
∴△MF1F2是直角三角形,
∴4c2=m2+n2,
∵點到x軸的距離為$\frac{c}{2}$,
∴$\frac{1}{2}mn=\frac{1}{2}•2c•\frac{c}{2}$,
∴mn=c2
又|m-n|=2a,
∴m2+n2-2mn=4a2,
∴c2=2a2,
∴e=$\sqrt{2}$.
故答案為:$\sqrt{2}$.

點評 本題考查雙曲線的離心率,考查等差數(shù)列的性質(zhì),考查雙曲線的定義,比較基礎(chǔ).

練習(xí)冊系列答案
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(Ⅰ)當a=0時,求函數(shù)y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程;
(Ⅱ)若f(x)在區(qū)間(1,e)的有零點,求正數(shù)a的取值范圍;
(Ⅲ)求證不等式${e^{\sum_{i=1}^n{\frac{i+1}{i^2}}}}>n$對任意的正整數(shù)n都成立(其中e是自然對數(shù)的底數(shù)).

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A.$[0,2\sqrt{2}]$B.[0,2]C.[1,2]D.[0,8]

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A.(-$\frac{5}{2}$,-$\frac{1}{4}$)B.(-$\frac{1}{2}$,-$\frac{1}{4}$)C.(-$\frac{1}{2}$,-$\frac{1}{4}$)∪(-$\frac{1}{4}$,-$\frac{1}{8}$)D.(-$\frac{1}{2}$,-$\frac{1}{8}$)

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2.已知函數(shù)f(x)=lnx-$\frac{1}{2}$ax2-bx(a≠0)
(1)若b=2,若y=f(x)存在單調(diào)遞減區(qū)間,求a的取值范圍;
(2)若函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸交于A,B兩點,線段AB的中點的橫坐標為x0,證明:f′(x0)<0.

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3.如圖,△ABC中,∠ABC=90°,以AB為直徑的圓O交AC于點E,點D是BC邊的中點,連接OD交圓O于點M.
(1)求證:O、B、D、E四點共圓;
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