Question

19．已知F₁，F(xiàn)₂是雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的兩個(gè)焦點(diǎn)，M為該雙曲線右支上一點(diǎn)，且|MF₁|²，$\frac{1}{2}$|F₁F₂|²，|MF₂|²成等差數(shù)列，該點(diǎn)到x軸的距離為$\frac{c}{2}$，則該雙曲線的離心率為$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 確定△MF₁F₂是直角三角形，利用勾股定理，三角形的面積公式，雙曲線的定義，可得a，c的關(guān)系，即可求出雙曲線的離心率．

解答 解：∵|MF₁|²，$\frac{1}{2}$|F₁F₂|²，|MF₂|²成等差數(shù)列，
∴|MF₁|²+|MF₂|²=|F₁F₂|²，
∴△MF₁F₂是直角三角形，
∴4c²=m²+n²，
∵點(diǎn)到x軸的距離為$\frac{c}{2}$，
∴$\frac{1}{2}mn=\frac{1}{2}•2c•\frac{c}{2}$，
∴mn=c²，
又|m-n|=2a，
∴m²+n²-2mn=4a²，
∴c²=2a²，
∴e=$\sqrt{2}$．
故答案為：$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的離心率，考查等差數(shù)列的性質(zhì)，考查雙曲線的定義，比較基礎(chǔ)．