Question

設(shè)函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且對任意的x∈R恒有f（x+1）=f（1-x），已知當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f(x)=(

1

2

)1-x，則：
①f（x+2）=f（x）；
②函數(shù)f（x）在（1，2）上遞減，在（2，3）上遞增；
③函數(shù)f（x）的最大值是1，最小值是0；
④當(dāng)x∈（3，4）時(shí)，f(x)=(

1

2

)x-3．
其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（　�。�

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考點(diǎn)：奇偶性與單調(diào)性的綜合

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)條件得到函數(shù)的周期為2，利用函數(shù)的單調(diào)性奇偶性，周期性的之間的關(guān)系分別進(jìn)行判斷即可．

解答： 解：∵函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且f（x+1）=f（1-x），
∴f（x+1）=f（1-x）=f（x-1），
即f（x+2）=f（x），故①正確．
由f（x+2）=f（x）得函數(shù)的周期是2，
∵當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f(x)=(

1

2

)1-x=2^x-1為增函數(shù)，
∴函數(shù)在[-1，0]上為減函數(shù)，在（1，2）上遞減，在（2，3）上遞增，故②正確．
∵當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f(x)=(

1

2

)1-x=2^x-1為增函數(shù)，∴當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）的最大值為f（1）=1，最小值為f（0）=

1

2

．故③錯(cuò)誤．
∵x∈（-1，0）時(shí)，-x∈（0，1），則f（x）=f（-x）=2-x-1=(

1

2

)x+1，
當(dāng)x∈（3，4）時(shí)，x-4∈（-1，0），則f（x）=f（x-4）=(

1

2

)x-4+1=(

1

2

)x-3，故④正確．
其中正確的是①②④，
故選：C

點(diǎn)評：本題主要考查命題的真假判斷，根據(jù)條件得到函數(shù)的周期性是解決本題的關(guān)鍵．綜合考查函數(shù)的性質(zhì)的綜合應(yīng)用．