Question

如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，點E在線段PC上，PC⊥平面BDE．PA=1，AD=2．
（1）證明：BD⊥平面PAC；
（2）求二面角B-PC-A的正切值．

Answer 1

考點：用空間向量求平面間的夾角,直線與平面垂直的判定

專題：空間角

分析：（1）由PC⊥平面BDE，得到PC⊥BD，再由PA⊥平面ABCD得到PA⊥BD，然后由線面垂直的判斷得答案；
（2）設(shè)AC與BD交于點O，連接OE，可得∠OEB就是二面角B-PC-A的平面角，然后利用△OEB∽△PAC及解直角三角形求得二面角B-PC-A的正切值．

解答： 解：（1）證明：如圖，

∵PC⊥平面BDE，BD?平面BDE，
∴PC⊥BD，
又∵PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，
∴PA⊥BD，
而PC∩PA=P，PC?平面PAC，PA?平面PAC，
∴BD⊥平面PAC；
（2）設(shè)AC與BD交于點O，連接OE
∵PC⊥平面BDE，OE?平面BDE，BE?平面BDE，
∴PC⊥OE，PC⊥BE，
于是∠OEB就是二面角B-PC-A的平面角，
又∵BD⊥平面PAC，OE?平面PAC，
∴△OEB是直角三角形．
由△OEB∽△PAC，可得

OE

OC

=

PA

PC

，
而AB=AD=2，
∴AC=2

2

，OC=

2

，
而PA=1，
∴PC=3，
于是OE=

PA

PC

×OC=

1

3

×

2

=

2

3

，而OB=

2

，
于是二面角B-PC-A的正切值為

OB

OE

=3．

點評：本題考查了直線與平面垂直的判斷，考查了二面角的平面角的找法與求解，解答此題的關(guān)鍵在于找到二面角的平面角，是中檔題．