Question

3．已知向量$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為30°，且|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow$|=$\sqrt{3}$．
（1）求|$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$|的值；
（2）設向量$\overrightarrow{p}$=$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$，$\overrightarrow{q}$=$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$，求向量$\overrightarrow{p}$在$\overrightarrow{q}$方向上的投影．

Answer 1

分析 （1）根據向量的數量積的運算法則計算即可，
（2）根據向量的投影的定義即可求出．

解答 解：（1）∵向量$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為30°，且|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow$|=$\sqrt{3}$，
∴|$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$|²=|$\overrightarrow{a}$|²+4|$\overrightarrow$|²-4|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow$|cos30°=4+12-12=4，
∴|$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$|=2，
（2）由（1）知|$\overrightarrow{q}$|=$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$=2，
∵$\overrightarrow{p}•\overrightarrow{q}$=（$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$）•（$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$）=|$\overrightarrow{a}$|²-4|$\overrightarrow$|²=4-12=-8，
∴向量$\overrightarrow{p}$在$\overrightarrow{q}$方向上的投影為$\frac{\overrightarrow{p}•\overrightarrow{q}}{|\overrightarrow{q}|}$=$\frac{-8}{2}$=-4．

點評 本題考查平面向量的數量積的性質和運算律的應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．