Question

12．已知z是復(fù)數(shù)，z+2i與$\frac{z}{1-i}$均為實(shí)數(shù)（i為虛數(shù)單位）且復(fù)數(shù)（z+ai）²在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 利用已知條件求出z，然后化簡復(fù)數(shù)（z+ai）²，利用對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)在第一象限，即可求解a的范圍．

解答 解：z是復(fù)數(shù)，z+2i與$\frac{z}{1-i}$均為實(shí)數(shù)，
可設(shè)z=a-2i，$\frac{a-2i}{1-i}$=$\frac{（a-2i）（1+i）}{2}$=$\frac{2+a+（a-2）i}{2}$，可得a=2．
復(fù)數(shù)（z+ai）²=（2-2i+ai）²=-a²+4a+4（a-2）I，復(fù)數(shù)（z+ai）²在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，
可得：$\left\{\begin{array}{l}{-{a}^{2}+4a＞0}\\{a-2＞0}\end{array}\right.$，
解得a∈（2，4）．

點(diǎn)評 本題考查復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算，復(fù)數(shù)的幾何意義，考查計(jì)算能力．