Question

已知f(x)＝ (a^x－a^－x)(a>0，且a≠1)．

(1)判斷f(x)的奇偶性；

(2)討論f(x)的單調(diào)性；

(3)當(dāng)x∈[－1,1]時(shí)， f(x)≥b恒成立，求b的取值范圍．

Answer 1

解：(1)函數(shù)定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．

又因?yàn)?i>f(－x)＝ (a^－x－a^x)＝－f(x)，所以f(x)為奇函數(shù)．

(2)當(dāng)a>1時(shí)，a²－1>0.

y＝a^x為增函數(shù)，y＝a^－x為減函數(shù)，從而y＝a^x－a^－x為增函數(shù)，所以f(x)為增函數(shù)．

當(dāng)0<a<1時(shí)，a²－1<0，

y＝a^x為減函數(shù)，y＝a^－x為增函數(shù)，從而y＝a^x－a^－x為減函數(shù)，所以f(x)為增函數(shù)．

故當(dāng)a>0，且a≠1時(shí)， f(x)在定義域?yàn)閱握{(diào)遞增函數(shù)．

(3)由(2)知f(x)在R上是增函數(shù)，

所以在區(qū)間[－1,1]上也是增函數(shù)．

所以f(－1)≤f(x)≤f(1)．

所以f(x)_min＝f(－1)＝ (a^－1－a)＝·＝－1.

所以要使f(x)≥b在[－1,2]上恒成立，則只需b≤－1.

故b的取值范圍是(－∞，－1]．