Question

10．已知橢圓$Γ：\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{x}^{2}}{^{2}}=1（a＞b＞0）$的離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，若Γ與圓E：${x^2}+{（{y-\frac{3}{2}}）^2}=1$相交于M，N兩點(diǎn)，且圓E在Γ內(nèi)的弧長為$\frac{2}{3}π$．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）過橢圓Γ的上焦點(diǎn)作兩條相互垂直的直線，分別交橢圓Γ于A，B、C，D，求證：$\frac{1}{{|{AB}|}}+\frac{1}{{|{CD}|}}$為定值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求得圓E的圓心和半徑，由弧長公式可得圓心角，由任意角的三角函數(shù)的定義可得M的坐標(biāo)，代入橢圓方程，運(yùn)用離心率公式可得a，b；
（Ⅱ）求出橢圓的方程和準(zhǔn)線方程，討論直線AB的斜率，結(jié)合直線方程和橢圓方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理和橢圓的第二定義，求得弦長，以及兩直線垂直的條件，化簡整理，即可得到定值．

解答 解：（Ⅰ）圓E：${x^2}+{（{y-\frac{3}{2}}）^2}=1$的圓心為（0，$\frac{3}{2}$），半徑為r=1，
圓E在Γ內(nèi)的弧長為$\frac{2}{3}π$，可得∠NEN•r=$\frac{2π}{3}$，
即有∠NEN=$\frac{2π}{3}$，設(shè)M在第一象限，可得
x_M=rsin$\frac{π}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，y_M=$\frac{3}{2}$-rcos$\frac{π}{3}$=$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{2}$=1，
即為M（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1），代入橢圓方程可得$\frac{3}{4^{2}}$+$\frac{1}{{a}^{2}}$=1，
由e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，又a²-b²=c²，
解得a=2，b=1；
（Ⅱ）證明：橢圓的方程為$\frac{{y}^{2}}{4}$+x²=1，c=$\sqrt{3}$，上準(zhǔn)線方程為y=$\frac{4}{\sqrt{3}}$，
上焦點(diǎn)為（0，$\sqrt{3}$），e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
當(dāng)直線AB的斜率為0，可得|AB|=$\frac{2^{2}}{a}$=1，
|CD|=2a=4，則$\frac{1}{{|{AB}|}}+\frac{1}{{|{CD}|}}$=1+$\frac{1}{4}$=$\frac{5}{4}$；
當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，
設(shè)AB：y=kx+$\sqrt{3}$（k≠0），則 CD：y=-$\frac{1}{k}$x+$\sqrt{3}$，
又設(shè)點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+\sqrt{3}}\\{4{x}^{2}+{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，
消去y并化簡得（4+k²）x²+2$\sqrt{3}$kx-1=0，
∴x₁+x₂=-$\frac{2\sqrt{3}k}{4+{k}^{2}}$，y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2$\sqrt{3}$=$\frac{8\sqrt{3}}{4+{k}^{2}}$，
即有|AB|=e（$\frac{8}{\sqrt{3}}$-y₁-y₂）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$•（$\frac{8}{\sqrt{3}}$-$\frac{8\sqrt{3}}{4+{k}^{2}}$）=$\frac{4（1+{k}^{2}）}{4+{k}^{2}}$，
將k換為-$\frac{1}{k}$，可得|CD|=$\frac{4（{k}^{2}+1）}{4{k}^{2}+1}$，
即有$\frac{1}{{|{AB}|}}+\frac{1}{{|{CD}|}}$=$\frac{4+{k}^{2}}{4（1+{k}^{2}）}$+$\frac{4{k}^{2}+1}{4（{k}^{2}+1）}$=$\frac{5}{4}$．
綜上可得：$\frac{1}{{|{AB}|}}+\frac{1}{{|{CD}|}}$為定值$\frac{5}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的參數(shù)的求法，注意運(yùn)用圓的有關(guān)知識(shí)，考查定值的證明，注意運(yùn)用直線方程和橢圓聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長公式的運(yùn)用，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．