Question

20．已知向量$\overrightarrow{a}$=（1，-1），A（0，4），B（n，t），C（t，ksinθ）θ∈[0，$\frac{π}{2}$]
（1）若$\overrightarrow{AB}⊥\overrightarrow{a}$，且$\frac{\sqrt{2}}{2}$|$\overrightarrow{AB}$|=|$\overrightarrow{OA}$|（O為原點），求向量$\overrightarrow{AB}$；
（2）若向量$\overrightarrow{AC}$與向量$\overrightarrow{a}$共線，求t關(guān)于θ的函數(shù)；
（3）求tsinθ取得最大值1（k≥2）時的$\overrightarrow{AC}$．

Answer 1

分析 （1）求出向量$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{OA}$的坐標(biāo)和模長，根據(jù)條件列方程解出n，t；
（2）寫出$\overrightarrow{AC}$的坐標(biāo)，根據(jù)向量共線列出等式整理；
（3）根據(jù)sinθ的范圍和最值判斷t和sinθ的值．

解答 解：（1）$\overrightarrow{AB}$=（n，t-4），$|\overrightarrow{AB}|$=$\sqrt{{n}^{2}+（t-4）^{2}}$，$|\overrightarrow{OA}|=\sqrt{2}$．
∵$\overrightarrow{AB}⊥\overrightarrow{a}$，且$\frac{\sqrt{2}}{2}$|$\overrightarrow{AB}$|=|$\overrightarrow{OA}$|，
∴$\left\{\begin{array}{l}{n-t+4=0}\\{\sqrt{{n}^{2}+（t-4）^{2}}=2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{n=\sqrt{2}}\\{t=4+\sqrt{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{n=-\sqrt{2}}\\{t=4-\sqrt{2}}\end{array}\right.$．
∴$\overrightarrow{AB}$=（$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$）或$\overrightarrow{AB}$=（-$\sqrt{2}$，-$\sqrt{2}$）．
（2）$\overrightarrow{AC}$=（t，ksinθ-4），
∵$\overrightarrow{AC}∥\overrightarrow{a}$，
∴t+ksinθ-4=0，
∴t=4-ksinθ．θ∈[0，$\frac{π}{2}$]
（3）∵θ∈[0，$\frac{π}{2}$]，∴sinθ∈[0，1]．
∵tsinθ有最大值1，∴t=1．此時sinθ=1．
∴C（1，k）．
∴$\overrightarrow{AC}$=（1，k-4）．

點評 本題考查了平面向量垂直，共線與數(shù)量積的關(guān)系，正弦函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．