Question

下列說法：
①函數(shù)f（x）=lnx+3x-6的零點(diǎn)只有1個(gè)且屬于區(qū)間（1，2）；
②若關(guān)于x的不等式ax²+2ax+1＞0恒成立，則a∈（0，1）；
③函數(shù)y=x的圖象與函數(shù)y=sinx的圖象有3個(gè)不同的交點(diǎn)；
④已知函數(shù)f（x）=log₂

a-x

1+x

為奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為1．
正確的有

 

．（請(qǐng)將你認(rèn)為正確的說法的序號(hào)都寫上）．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,簡(jiǎn)易邏輯

分析：對(duì)于①：結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，利用零點(diǎn)存在性定理判斷；
對(duì)于②：分a=0和a≠0進(jìn)行討論，a≠0時(shí)結(jié)合二次函數(shù)的圖象求解；
對(duì)于③：結(jié)合圖象及導(dǎo)數(shù)進(jìn)行判斷；
對(duì)于④：利用奇函數(shù)定義式，f（-x）+f（x）=0恒成立求a，注意定義域．

解答： 解：對(duì)于①：函數(shù)f（x）=lnx+3x-6[m，n]在（0，+∞）上是增函數(shù)，且f（1）=ln1+3×1-6=-3＜0，f（2）=ln2+3×2-6=ln2＞0．所以①正確；
對(duì)于②：當(dāng)a=0時(shí)原不等式變形為1＞0，恒成立；當(dāng)a≠0時(shí)，要使關(guān)于x的不等式ax²+2ax+1＞0恒成立，則a＞0且△=（2a）²-4a×1＜0⇒0＜a＜1，綜上可得a的范圍是[0，1），故②不正確；
對(duì)于③：令函數(shù)y=x-sinx，則y′=1-cosx，所以該函數(shù)在[0，+∞）上是增函數(shù)，且x=0時(shí)最小，且該函數(shù)是奇函數(shù)，所以函數(shù)y=x-sinx只有x=0一個(gè)零點(diǎn)，即函數(shù)y=x的圖象與函數(shù)y=sinx的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，故③不正確；
④由奇函數(shù)得：f(x)=-f(-x)，log2

a-x

1+x

=-log2

a+x

1-x

，

a-x

1+x

=

1-x

a+x

，a²=1，因?yàn)閍≠-1，所以a=1．故④正確．
故答案為：①④．

點(diǎn)評(píng)：該題目考查了函數(shù)的奇偶性的定義、零點(diǎn)定理、等基礎(chǔ)知識(shí)，在應(yīng)用過程中要注意準(zhǔn)確把握定理應(yīng)用的要素與條件，切不可想當(dāng)然．