Question

已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a≠0）．
（1）若f（-1）=0，試判斷函數(shù)f（x）零點(diǎn)的個數(shù)；
（2）是否存在a，b，c∈R，F(xiàn)（x）同時滿足以下條件：
①當(dāng)x=-1時，函數(shù)有最小值0；
②?x∈R，都有0≤f（x）-x≤

1

2(x-1)

．若存在，求出a，b，c的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題,根的存在性及根的個數(shù)判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）通過對二次函數(shù)對應(yīng)方程的判別式進(jìn)行分析判斷方程根的個數(shù)，從而得到零點(diǎn)的個數(shù)；
（2）根據(jù)條件①和二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得b=2a，c=a，令x=1，結(jié)合條件②，可求出a，b，c的值．

解答： 解：（1）∵二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a≠0）．
由f（-1）=0，得a-b+c=0，
即b=a+c．
故△=b²-4ac=（a+c）²-4ac=（a-c）²
當(dāng)a=c時，△=0，函數(shù)f（x）有一個零點(diǎn)；
當(dāng)a≠c時，△＞0，函數(shù)f（x）有兩個零點(diǎn)；
（2）假設(shè)a，b，c存在，由①得-

b

2a

=-1，

4ac-b2

4a

=0
∴b=2a，c=a．
由②知對任意x∈R，都有0≤f（x）-x≤

(x-1)2

2

，
令x=1，得0≤f（1）-1≤0，
∴f（1）=1，
∴a+b+c=1，
解得：a=c=

1

4

，b=

1

2

，
當(dāng)a=c=

1

4

，b=

1

2

時，f（x）=

1

4

x²+

1

2

x+

1

4

=

1

4

（x+1）²，其頂點(diǎn)為（-1，0）滿足條件①，
又f（x）-x=

1

4

x²-

1

2

x+

1

4

=

1

4

（x-1）²，對任意x∈R，都有0≤f（x）-x≤

(x-1)2

2

，滿足條件②．
∴存在a=c=

1

4

，b=

1

2

，使f（x）同時滿足條件①、②．

點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)解析式的求解及常用方法，考查了二次函數(shù)最值得求法，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法和分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，是壓軸題．