Question

已知f（x）=xlnx．
（1）證明：當(dāng)x≥1時，2x-e≤f（x）恒成立（e為常數(shù)）；
（2）討論g（x）=

f(x)+k

x

（k∈R）的單調(diào)性．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）2x-e≤f（x）恒成立，?f（x）-2x+e≥0恒成立，令g（x）=f（x）-2x+e=xlnx-2x+e，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)g（x）的最小值為0，即可得證；
（2）利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，對k進行分類討論即可得出函數(shù)的單調(diào)性．

解答： 解：（1）2x-e≤f（x）恒成立，
?f（x）-2x+e≥0恒成立，
令g（x）=f（x）-2x+e=xlnx-2x+e，
∴g′（x）=lnx-1=0，得x=e，
∴當(dāng)1＜x＜e時，g′（x）＜0，g（x）在（1，e）上單調(diào)遞減，
當(dāng)x＞e時，g′（x）＞0，g（x）在（e，+∞）上單調(diào)遞增，
∴g（x）_min=g（e）=0，
∴g（x）≥0，即f（x）≥2x-e．
（2）由題意得x∈（0，+∞），
g（x）=

f(x)+k

x

=lnx+

k

x

，
∴g′（x）=

1

x

-

k

x2

=

x-k

x2

，
∴當(dāng)k≤0時，g′（x）＞0，g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
當(dāng)k＞0時，g′（x）＞0，可得x＞k，g′（x）＜0，可得0＜x＜k，
∴g（x）在（k，+∞）上單調(diào)遞增，
g（x）在（0，k）上單調(diào)遞減．

點評：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值等問題，考查學(xué)生分類討論思想的運用能力及運算求解能力，屬于中檔題．