Question

20．已知離心率為$\frac{1}{2}$的橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）經(jīng)過點(diǎn)（1，$\frac{3}{2}$）．
（1）求橢圓C的方程；
（2）P是橢圓C上的一點(diǎn)，點(diǎn)A、A′分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，直線PA與y軸交于點(diǎn)M，直線PA′與y軸交于點(diǎn)N，求|OM|²+|ON|²（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的最小值．

Answer 1

分析 （1）由離心率的值、橢圓經(jīng)過點(diǎn)（1，$\frac{3}{2}$），及a、b、c之間的關(guān)系，求出a、b的值，進(jìn)而得到橢圓C的方程．
（2）由于P是橢圓C上的一點(diǎn)，得到P點(diǎn)的坐標(biāo)滿足的關(guān)系式，求出直線PA與直線PA′的方程，進(jìn)而得到點(diǎn)M，N的坐標(biāo)，即可得到|OM|²+|ON|²的最小值．

解答 解：（1）由于橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{1}{2}$，則a=2c，b=$\sqrt{3}$c，
又由橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）經(jīng)過點(diǎn)（1，$\frac{3}{2}$），則c²=1，
故a=2，b=$\sqrt{3}$，
所以橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
（2）設(shè)P（m，n），
由于P是橢圓C上的一點(diǎn)，則$\frac{{m}^{2}}{4}+\frac{{n}^{2}}{3}=1$，即4-m²=$\frac{4}{3}{n}^{2}$，①
又由點(diǎn)A、A′分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，直線PA與y軸交于點(diǎn)M，直線PA′與y軸交于點(diǎn)N，
則直線PA：y=$\frac{n}{m+2}$（x+2），直線PA′：y=$\frac{n}{m-2}$（x-2），
令x=0，得M（0，$\frac{2n}{m+2}$），N（0，$\frac{-2n}{m-2}$），
則|OM|²+|ON|²=（$\frac{2n}{m+2}$）²+（$\frac{-2n}{m-2}$）²，
將①代入得|OM|²+|ON|²=$\frac{6{m}^{2}+24}{4-{m}^{2}}=-6+\frac{48}{4{-m}^{2}}$，
由于0≤m²＜4，故當(dāng)m²=0時(shí)，|OM|²+|ON|²取最小值6．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查直線的圓錐曲線的位置關(guān)系，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．