Question

15．設函數f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜$\frac{π}{2}$）滿足f（x+2φ）=f（2φ-x），且對任意a∈R，在區(qū)間（a，a+2π]上f（x）有且只有一個最大值，則f（x）的一個遞減區(qū)間是（　�。�

• A． [-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{3}$]
• B． [-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]
• C． [$\frac{2π}{3}$，$\frac{4π}{3}$]
• D． [$\frac{2π}{3}$，$\frac{5π}{3}$]

Answer 1

分析 由條件求出ω、φ的值，可得函數的解析式，再利用余弦函數的單調性求得函數的減區(qū)間，從而得出結論．

解答 解：∵對任意a∈R，在區(qū)間（a，a+2π]上f（x）有且只有一個最大值，且函數的最小正周期為2π，
故有$\frac{2π}{ω}$=2π，∴ω=1．
∵f（x+2φ）=f（2φ-x），∴函數f（x）的圖象關于直線x=2φ對稱，∴1×2φ+φ=kπ，k∈z，
即φ=$\frac{kπ}{3}$，結合0＜φ＜$\frac{π}{2}$，可得φ=$\frac{π}{3}$，故f（x）=cos（x+$\frac{π}{3}$）．
令2kπ≤x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+π，求得2kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤2kπ+$\frac{2π}{3}$，故函數的減區(qū)間為[2kπ-$\frac{π}{3}$，2kπ+$\frac{2π}{3}$]，k∈z．
故f（x）的一個遞減區(qū)間是[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，
故選：B．

點評 本題主要考查余弦函數的圖象和性質，屬于基礎題．